4.2空间中的平行与垂直

专题四第2讲第2讲空间中的平行与垂直【高考考情解读】高考对本节知识的考查主要是以下两种形式：1．以填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题真假进行判断，属基础题.2．以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题四第2讲主干知识梳理1．线面平行与垂直的判定定理、性质定理线面平行的判定定理a∥bb⊂αa⊄α⇒a∥α线面平行的性质定理a∥αa⊂βα∩β＝b⇒a∥b本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题四第2讲主干知识梳理线面垂直的判定定理a⊂α，b⊂αa∩b＝Ol⊥a，l⊥b⇒l⊥α线面垂直的性质定理a⊥αb⊥α⇒a∥b本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题四第2讲主干知识梳理2.面面平行与垂直的判定定理、性质定理面面垂直的判定定理a⊥αa⊂β⇒α⊥β面面垂直的性质定理α⊥βα∩β＝ca⊂αa⊥c⇒a⊥β本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题四第2讲主干知识梳理面面平行的判定定理a⊂βb⊂βa∩b＝Oa∥α，b∥α⇒α∥β面面平行的性质定理α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b⇒a∥b提醒使用有关平行、垂直的判定定理时，要注意其具备的条件，缺一不可．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题四第2讲主干知识梳理3．平行关系及垂直关系的转化示意图本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题四第2讲热点分类突破考点一空间线面位置关系的判断例1(1)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是________．(填序号)①l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3②l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3③l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面④l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题四第2讲热点分类突破(2)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是________．(填序号)①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α②若l⊥α，l∥m，则m⊥α③若l∥α，m⊂α，则l∥m④若l∥α，m∥α，则l∥m解析(1)对于①，直线l1与l3可能异面、相交；对于③，直线l1、l2、l3可能构成三棱柱的三条棱而不共面；对于④，直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面，如正方体一个顶点的三条棱．对于②，由异面直线所成角的定义知②正确．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题四第2讲热点分类突破(2)①中直线l可能在平面α内；③与④中直线l，m可能异面；事实上由直线与平面垂直的判定定理可得②正确．答案(1)②(2)②本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题四第2讲热点分类突破解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全移植到立体几何中．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题四第2讲热点分类突破(1)(2013·广东改编)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是______．(填序号)①若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n③若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β④若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β(2)平面α∥平面β的一个充分条件是________．(填序号)①存在一条直线a，a∥α，a∥β②存在一条直线a，a⊂α，a∥β③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α④④本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题四第2讲热点分类突破考点二线线、线面的位置关系例2如图，在四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB.(1)若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF；(2)求证：EC∥平面PAB.证明(1)由题意得PA＝CA，∵F为PC的中点，∴AF⊥PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC.∵E为PD的中点，F为PC的中点，∴EF∥CD，∴EF⊥PC.∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题四第2讲热点分类突破(2)方法一如图，取AD的中点M，连结EM，CM.则EM∥PA.∵EM⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴EM∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，MC＝AM，∴∠ACM＝60°.而∠BAC＝60°，∴MC∥AB.∵MC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴MC∥平面PAB.∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB.∵EC⊂平面EMC，∴EC∥平面PAB.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题四第2讲热点分类突破方法二如图，延长DC、AB，设它们交于点N，连结PN.∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C为ND的中点．∵E为PD的中点，∴EC∥PN.∵EC⊄平面PAB，PN⊂平面PAB，∴EC∥平面PAB.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题四第2讲热点分类突破(1)立体几何中，要证线垂直于线，常常先证线垂直于面，再用线垂直于面的性质易得线垂直于线．要证线平行于面，只需先证线平行于线，再用线平行于面的判定定理易得．(2)证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题四第2讲热点分类突破如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，D为AC的中点．(1)求证：B1C∥平面A1BD；(2)若AC1⊥平面A1BD，求证：B1C1⊥平面ABB1A1；(3)在(2)的条件下，设AB＝1，求三棱锥B－A1C1D的体积．(1)证明如图所示，连结AB1交A1B于E，连结ED.∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，且AB＝BB1，∴侧面ABB1A1是正方形，∴E是AB1的中点，又已知D为AC的中点，本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题四第2讲热点分类突破∴在△AB1C中，ED是中位线，∴B1C∥ED，∴B1C∥平面A1BD.(2)证明∵AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥A1B.∵侧面ABB1A1是正方形，∴A1B⊥AB1.又AC1∩AB1＝A，∴A1B⊥平面AB1C1，∴A1B⊥B1C1.又∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥B1C1，∴B1C1⊥平面ABB1A1.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题四第2讲热点分类突破(3)解∵AB＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面DC1A1.∴BD是三棱锥B－A1C1D的高．由(2)知B1C1⊥平面ABB1A1，∴BC⊥平面ABB1A1.∴BC⊥AB，∴△ABC是等腰直角三角形．又∵AB＝BC＝1，∴BD＝22，∴AC＝A1C1＝2.∴三棱锥B－A1C1D的体积V＝13·BD·＝13×22×12A1C1·AA1＝212×2×1＝16.11ACDS本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题四第2讲热点分类突破考点三面面的位置关系例3如图，在几何体ABCDE中，AB＝AD＝2，AB⊥AD，AE⊥平面ABD.M为线段BD的中点，MC∥AE，AE＝MC＝2.(1)求证：平面BCD⊥平面CDE；(2)若N为线段DE的中点，求证：平面AMN∥平面BEC.证明(1)∵AB＝AD＝2，AB⊥AD，M为线段BD的中点，∴AM＝12BD＝2，AM⊥BD.∵AE＝MC＝2，∴AE＝MC＝12BD＝2，∴BC⊥CD.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题四第2讲热点分类突破∵AE⊥平面ABD，MC∥AE，∴MC⊥平面ABD.∴平面ABD⊥平面CBD，∴AM⊥平面CBD.又MC綊AE，∴四边形AMCE为平行四边形，∴EC∥AM，∴EC⊥平面CBD，∴BC⊥EC，∵EC∩CD＝C，∴BC⊥平面CDE，∴平面BCD⊥平面CDE.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题四第2讲热点分类突破(2)∵M为BD中点，N为ED中点，∴MN∥BE且BE∩EC＝E，由(1)知EC∥AM且AM∩MN＝M，∴平面AMN∥平面BEC.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题四第2讲热点分类突破(1)证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行．(2)证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中线、高线或添加辅助线解决．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题四第2讲热点分类突破如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．求证：(1)AF∥平面BCE；(2)平面BCE⊥平面CDE.证明(1)如图，取CE的中点G，连结FG，BG.∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝12DE.∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB.又AB＝12DE，∴GF＝AB.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题四第2讲热点分类突破∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG.∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE.(2)∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD.∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE.∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题四第2讲热点分类突破考点四立体几何中的探索性问题例4(2012·北京)如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题四第2讲热点分类突破折叠问题要注意在折叠过程中，哪些量变化了，哪些量没有变化．第(1)问证明线面平行，可以证明DE∥BC；第(2)问证明线线垂直转化为证明线面垂直，即证明A1F⊥平面BCDE；第(3)问取A1B的中点Q，再证明A1C⊥平面DEQ.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题四第2讲热点分类突破(1)证明因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE，所以A1F⊥BE.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题四第2讲热点分类突破(3)解线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面