三重积分 演示文稿

第三节一、三重积分的概念二、三重积分的计算三重积分第九章一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用kkkkv),,(),,(kkkkv引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的物质,,),,(Czyx求分布在内的物质的可得nk10limM“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:质量M.密度函数为定义.设,),,(,),,(zyxzyxfkkknkkvf),,(lim10存在,),,(zyxfvzyxfd),,(称为体积元素,vd.dddzyx若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质:下列“乘积和式”极限记作注1(,,)1,,(,)Dfxyzvdvvfxydxdy二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次积分法,0),,(zyxf先假设连续函数并将它看作某物体通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:zxyDDyxdd方法1.投影法(“先一后二”)Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),,(),(),(21该物体的质量为vzyxfd),,(),(),(21d),,(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),,(ddyxzyxfdd),,(细长柱体微元的质量为),(2yxzz),(1yxzzyxdd微元线密度≈记作注123()()()fxfyfzdv:,,axbcydezf123()()()fbdacefxdxfydxfzdz例y=0,z=0和x+y+z=1所围成的四面体.解:在xy面上的投影区域为Dxy:0y1x,0x1.沿z轴方向,下方曲面:z=0,上方曲面:z=1xy.y0zx111Dxyx+y=1x+y+z=1dvzyx).,(化为三次积分:yxxfdzdydxfdxdydz101010y0zx111Dxyx+y=1x+y+z=1例164页1（1）其中为三个坐标例1.计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域.1xyz121解::zyxxddd)1(01021d)21(dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10x481面及平面例2.,0,xdxdydzx其中是由平面y=0,z=0和x+y+z=1所围成的四面体.解:.xdxdydz在xy面上的投影区域为Dxy:0y1x,0x1.沿z轴方向,下方曲面:z=0,上方曲面:z=1xy.y0zx111Dxyx+y=1x+y+z=1yxxxdzdydxxdxdydz101010xdyyxxdx1010)1(dxyxxx10210)1(21dxxx210)1(21.241ab方法2.截面法(“先二后一”)为底,dz为高的柱形薄片质量为zD以xyz该物体的质量为baZDyxzyxfdd),,(ZDbayxzyxfzdd),,(dzzDzzyxfd),,(面密度≈zd记作xyz例2.计算三重积分解::zyxzddd2cczczbazd)1(2222czc2222221:czbyaxDzzDyxddcczzd23154cbaabc用“先二后一”zDz椭圆面积为ab.,1:222222czbyaxDz,1,1,2222czbcza半短轴分别为半长轴,122czab面积为dzczabzcc2221原式.1543abc投影法方法3.三次积分法设区域:利用投影法结果,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重积分化成二次积分即得:),(),(21d),,(ddyxzyxzDzzyxfyx),(),(21d),,(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd小结:三重积分的计算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次积分”),(),(21d),,(ddyxzyxzDzzyxfyxZDbayxzyxfzdd),,(d),(),()()(2121d),,(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具体计算时应根据三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.oxyz2.利用柱坐标计算三重积分,R),,(3zyxM设,,,代替用极坐标将yx),,z（则就称为点M的柱坐标.z200sinyzzcosx直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标面分别为圆柱面常数半平面常数z平面oz),,(zyxM)0,,(yx2.利用柱面坐标求三重积分.设点M=(x,y,z)R3,它在xy面上的投影点为P=(x,y,o)显然,任给一点M,可唯一确定点P和竖坐标z,反之,在xy面上任给点P和数z,可唯一确定M.因点P可用其极坐标确定,故M可由P的极坐标r,以及z唯一确定,称为柱面坐标.zxyoP=(x,y,o)M＝(x,y,z)r如图所示,在柱面坐标系中体积元素为zzdddzvdddd因此zyxzyxfddd),,(其中),sin,cos(),,(zfzF适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.zdddxyzodd例1.计算,zdxdydz其中：x2+y2+z21,且z0.解：是上半球体,它在xy面上的投影区域是单位圆x2+y2≦1.令x=rcos,y=rsin,z=z,则平面z=0和球面即0z.12r且0r1,02,1010202rrdzzdrdzdxdydz.4)1(212102drrr,101222rzzyxz和的柱面坐标方程分别为例其中由x2+y2=2z及z=2所围成.例2.求.)(22dxdydzyx解：一般,若的表达式中含有x2+y2,则可考虑用柱面坐标积分.令x=rcos,y=rsin,z=z,,212rz且221rz2,0r2,02.,2)(21,222zyxzz的柱面坐标方程分别为则xzyx2+y2=2zx2+y2=4或r=2o2221rz或20202212222)(rrdzrdrddxdydzyxdrrr)212(22203316)1212122064drrr注：常用的二次曲面有,球面,椭球面,柱面.a(x2+y2)=z(旋转抛物面),ax2+by2=z(椭圆抛物面),a2(x2+y2)=z2(圆锥面).其中为由例3.计算三重积分xyx2220),0(,0yaazz所围解:在柱面坐标系下:cos202ddcos342032acos2020az0及平面2axyzozvdddd20dazz0dzzddd2原式398a柱面cos2成半圆柱体.OOxyz例4.计算三重积分解:在柱面坐标系下hhz42dhh2022d)4(1π2h202d1π20dzyx422)0(hhz所围成.与平面其中由抛物面zvdddd原式=3.利用球坐标计算三重积分,R),,(3zyxM设),,,(z其柱坐标为就称为点M的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系,ZOMMoxyzzr),,(r则0200rcossinrxsinsinrycosrz坐标面分别为常数r球面常数半平面常数锥面,rOM令),,(rMsinrcosrz称(,,)为点M的球面坐标,规定0+,0,02(或)由图知,直角坐标与球面坐标的关系为x=rcos=sincos,y=rsin=sinsin,z=cos.用球面坐标,可将x2+y2+z2=a2化为=a(a0)，将圆锥面a(x2+y2)=z2化为=常数,将y=kx化为=常数.即=常数,=常数=常数分别表球面,圆锥面,过z轴的半平面.zxyoP=(x,y,o)M＝(x,y,z)rxyzo如图所示,在球面坐标系中体积元素为ddrrddddsind2rrv因此有zyxzyxfddd),,(),,(rF其中)cos,sinsin,cossin(),,(rrrfrF适用范围:1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.dddsin2rrd例4.计算三重积分解:在球面坐标系下:zyxzyxddd)(222所围立体.40Rr020其中与球面dddsind2rrvRrr04d)22(515R40dsin20dxyzo4Rr例5.计算由两个半球面,)(22dxdydzyxI.0)0(,222222围成平面及zbayxazyxbz解:的表达式中含x2+y2+z2,可用球面坐标求积分.令x=rsincos,y=rsinsin,z=rcos.则且两球面方程分别为r=b和r=a,(ab).0ar=azyxbr=bdddsind2rrv0ar=azyxbr=b由上面的(1)及的形状知,arb,0,02.dvyxI)(222020222sinsinbadrrrddbadrrd4203sin2cos)cos1()(5220255dab)(15455ab2