仰角、俯角和方位角

解直角三角形（仰角俯角方位角）在直角三角形中,除直角外,由已知两元素求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；2.解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90º；(3)边角之间的关系:ＡＣＢabctanA＝absinA＝accosA＝bc(必有一边)(4)面积公式S=1／2ab=1／2chh铅垂线水平线视线视线仰角俯角在进行观察或测量时，仰角和俯角从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；【例1】如图，直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB.450米合作与探究解：由题意得，在Rt△PAO与Rt△PBO中30,45PAOPBOtan30,tan45POPOOAOB4504503,tan30OA450450tan45OB(4503450)()ABOAOBm(4503450).m答：大桥的长AB为βαPABO答案:米)2003200(合作与探究变题1：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45°，求飞机的高度PO.ABO30°45°400米Pxx1、如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆30米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝30°，求电线杆AB的高．图19.4.41.2030=3002、在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。问题如下：1）沿着水平地面向前300米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为600,求山高AB。DABCxx345°60°300米AB还可以怎样表示？那么这是先利用那个三角形？若设AB为x,又该怎样找关系？xABC2)、在山脚C处测得山顶A的仰角为450。问题如下：变式：沿着坡角为30°的斜坡前进300米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为600,求山高AB。30°DEFxx30060°3、在山顶上D处有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α=60o，在塔底D测得点A的俯角β=45o，已知塔高BD=30米，求山高CD。ABCDαβ30米30°45°xx45°30°OBA200米合作与探究例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO.LUD答案:米)3003100(P合作与探究例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO.45°30°POBA200米C合作与探究45°30°POBA200米C例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO.合作与探究例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO.45°30°POBA200米C仰角、俯角问题中的基本图形ADBCADBCABCDABCD1．数形结合思想.方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.思想与方法2．方程思想.3．转化（化归）思想.【总结】（1）、有关实际应用的问题，解法步骤：①弄清已知条件及要求解的问题。②画图将实际问题转化为数学问题。③寻找解题途径。⑷解、答（2）、如果图中无直角三角形，可适当地作垂线等辅助线，“化斜为直”，“善于转化”为解直角三角形问题。（3）、解直角三角形的有关问题常通过设未知数、列方程（组）来解，也比较容易。常常设图形中具有“双重身份”的线段或者是两个三角形联系密切的特殊线段为未知数。指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角.如图：点A在O的北偏东30°点B在点O的南偏西45°（西南方向或南偏西45°）30°45°BOA东西北南例1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？45°30°PBCA80东北你认为货船继续向西航行途中会有触礁的危险吗?B想一想船有触礁的危险吗？1、审题，画图。茫茫大海中有一个小岛A,该岛四周16海里内有暗礁.今有货船由东向西航行,开始在距A岛30海里南偏东600的B处,货船继续向西航行。60º观测点被观测点A北C30海里？这个问题归结为:在Rt△ABC中,已知∠A=60°,斜边AB=30,求AC的长问题本质是直线与圆的关系例2.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？F60°1230°BAD东北问题本质是：直线与圆的位置关系相离---无危险相切---无危险相交---有危险针对性习题1：如图,在一笔直的海岸线上有A,B两个观测站,A在B的正西方向,AB=2km,从A测得船C在北偏东60°的方向,从B测得船C在北偏西45°的方向.求船C离海岸线的距离.ABC2km60°45°D例3.如图，小岛P的周围20√2海里内有暗礁，某渔船沿北偏东60°的AM方向航行，在A处测得小岛P的方向为北偏东30°，距A处40海里，该渔船若不改变航向，有无触礁的可能？若有，渔船在A处应再向北偏东偏离多大角度才能脱险？·PAM30°B先判断直线AM与圆P的位置关系2.设直线AN与圆P相切于点CNC3.连接PC,求∠PAC的度数4.则∠MAN就是偏离的度数北东30°20√240ACB6030北北60km针对性习题2：A、B两镇相距60km，小山C在A镇的北偏东60°方向，在B镇的北偏西30°方向．经探测，发现小山C周围20km的圆形区域内储有大量煤炭，有关部门规定，该区域内禁止建房修路．现计划修筑连接A、B两镇的一条笔直的公路，试分析这条公路是否会经过该区域？D针对性习题3：大海中某小岛A的周围22km范围内有暗礁.一海轮在该岛的南偏西55°方向的B处,由西向东行驶了20km后到达该岛的南偏西25°方向的C处.如果该海轮继续向东行驶,会有触礁的危险吗?(精确到0.1km).A北西BCD南E你能计算出该船正东方向暗礁带的宽度吗?Ftan250.47tan551.43°≈°≈如何将动圆与点的位置关系变为动圆圆心所在直线与定圆的位置关系？某日上午8点，A市气象局测得城市正东方向80Km处B点有一台风中心正在以25Km每小时的速度沿西偏北37°的BC方向迅速移动，在距离台风中心50Km范围内为严重影响区域（1）A市是否会受到严重影响，为什么？（2）若会受到影响，则持续时间有多长？（3）A市规定在台风严重影响一小时前向市民发出预警警报，若A市会受到影响，则A市应几点发出警报。·ABC37°(sin37≈0.6,cos37≈0.8,)D1.台风可视为动圆；点A与动圆的位置关系，点A与动圆圆心的最短距离是多少？2.以A为圆心，50为半径画圆，交BC于E,F,连接AE,AFEF你知道E和F的意义吗·练习2：气象局发出预报:如图,沙尘暴在A市的正东方向400km的B处以40km/h的速度向北偏西600的方向转移,距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响,A市是否受到这次沙尘暴的影响?如果受到影响,将持续多长时间?B60°北A西北CDE台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心的周围数千米范围内形成气旋风暴，有极强的波坏力。据气象观测，距沿海城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力会减弱1级，该台风中心现以15千米每小时的速度沿北偏东30°方向往C移动，若城市达到或超过4级，则称为受台风影响，如图（1）该城市是否会受到这次台风的影响？说明理由（2）若会受到台风影响，那么影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风的最大风力为几级？ABC···1211109D30°EF如图,海上有一灯塔P,在它周围3海里内有暗礁.一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行,行至A点处测得P在它的北偏东60度的方向,继续行驶20分钟后,到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45度方向.问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?C问题的本质：判断直线与圆的位置关系•如图，上午9点，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9点30分到达B处，从A,B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，此时船与小岛M的距离为多少？45°15°东北ABMC∵AB=40×1／2=20∴BC=AB·sin45°=10√2∴BM=2BC=20√2依题意可知，∠MAB=45°∠AMB=30°作BC垂直AM于C以上两例，貌似相像，但辅助线的作法却不同，说明在作辅助线时，要充分利用特殊角来构造Rt△比较以上两例，你有什么发现