数学课堂教学的核心―

441数学课堂教学的核心—揭示数学本质华东师范大学数学系张奠宙2007.10.27.上海442第一部分国内外数学教育动态443一。美国数学教育的走向：重视基础444美国“数学战争”。1998年，美国加州一批数学家和数学教育家（华裔著名数学家伍鸿熙是主要代表人物之一），公开批评美国和加州的数学教育。指责美国数学课程标准的学术要求太低，基础宽而不深，被形容为“一英里宽、一英寸深”。数学教材中严谨不够，被讽刺为“模糊数学”，主张大幅度进行改革。另一方面，美国最大的中小学数学教师组织—全国数学教师协会（NCTM）则认为美国数学教育基本面是好的，双方公开论战。445数学课程焦点文件发表：强调数学基础2006年9月12日，美国全国数学教师协会发布〈数学课程焦点〉，对2000年的《数学课程与评价标准》做了补充说明，力求在保持创造、发展的同时，强调数学基础的重要性。这也是近10年来美国“数学战争”的一项重要结果。446聚焦“基础”课程焦点是各个年级（K-8）的重要数学课题。这些教学领域着重为各个年级的课程设计和教学提供组织结构。这些课题处于数学的中心地带：它们所承载的知识和技能对受教育的公民是必不可少的，并为进一步的数学学习提供了基础。447强调的重点：基础，速度，技能自动化回忆基本事实。在整数运算中，计算的流畅性（fluency）是关键的。计算流畅性的重要组成部分是效率和正确性。最终，流畅性需要基本数字事实的自动化回忆。快速记起(recall)乘法和相应的除法的意义，熟练进行整数的乘法和除法。…………448美国设立国家数学咨询委员会2006年4月18日，布什总统任命一个“（NationalMathematicsAdvisoryPanel）”,任务是帮助总统和部长在科学研究的基础上构建最好的美国数学教育。委员会的具体目标是在2008年2月向总统提出正式的报告委员会分成以下5个工作小组：概念性知识和技能；学习过程；教学实践；教师；评价449委员会的组成主席佛克纳尔（LarryR.Faulkner）是一位化学博士，在许多大学化学系任教授、主任，以及学院院长。现任休斯顿一个私人设立的慈善基金会主席，德州大学荣休教授。副主席本鲍（C。P。Benbow）是一位教育心理学家。成员中有心理学家，数学家，数学教育家，数学教师等。包括两位华裔学者，一位是前面提到的数学家伍鸿熙教授，另一位是马立平博士。她在华东师范大学获得硕士学位，又在斯坦福大学获得博士学位。一本以博士论文为基础的著作（KnowingandTeachingElementaryMathematics）指出美国小学数学教师的数学水平低下，成为美国教育方面的畅销书，因而一举成名。4410公开听证，记录在案委员会计划在2008年2月向总统提交最后报告之前，在全美各地举行10次会议。2006年5月（华盛顿），6月（北卡州），9月（波士顿），11月（洛杉矶），2007年1月（新奥尔良），4月（芝加哥）举行了6次，6月5-6日在迈阿密。非常详细的日程已经公布。4411二《9年义务教育数学课程标准（修订稿）》即将公布4412修订之一修改了三句话：人人都能获得良好的数学教育人人都能获得必需的数学人人学习有价值的数学不同的人在数学上得到不同的发展4413修订之二重提教师的主导作用，启发式讲授，明确提出：好的教学活动，应是学生主体地位和教师主导作用的和谐统一。4414修订之三注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握。将“双基”发展为四基：*基本知识*基本技能*基本数学活动经验*基本数学思想方法4415修订之四贴近学生现实包括：生活现实数学现实其他学科现实4416修订之五整理、补调整许多内容；例如“几何”名称的恢复；尺规作图的补充；推理论证的规定4417理性的回归数学课程标准的争论，可以说基本结束。坚持了大方向，处理得更符合实际，得到各方面的认可。正常的学术争论还会继续，例如“数感”，不同的人得到不同的发展等4418三。谨慎地接受西方的教育理论！4419建构主义的定义(）建构主义是一种科学理论，不能庸俗化。台湾的失败。（知识是个人学习的，大白话。）•“什么是建构主义？如下的解释能够同意吗?•“学生需要对每一个数学概念构造自己的理解，使得“教”的作用不再是演讲、解释、或者企图去“传送”知识，而是为促使学生进行心智建构创设学习环境和条件。这种教学方法的关键，是将每一个数学概念按皮亚杰的知识理论分解成许多发展性的步骤，这些步骤的确定要基于对学生的观察和谈话4420建构主义的某些主张并不新鲜知识是学生自己建构的学生不是一张白纸学生的头脑不是一张空桶知识是不能灌输的。建构主义教育建议：自主、探究、合作。我们都同意！以前也是这样提倡的！4421能动的反映论教师为主导，学生为主体。师傅领进门，修行在个人。启发式教学，师生讨论，反对满堂灌。谁说“学生是一张白纸？”“能动的反映论”！知识是不能传授的？科学传授+主动接受是好的教育？4422建构主义的局限：缺乏效率教育不等于认识论。数学教学是要在很短的时间里，让学生把握人类几千年来积累的数学知识。掌握数学本质，精中求简，保持核心价值一万年以后怎么办？老是探究，自己发现，还有效率可谈吗？没有效率的教学理论是走不远的！4423人的知识多半是主动接受而来大多是间接经验，少量的直接经验书籍、报刊的阅读，电视的传播，世纪大讲堂。领导的讲话，听名人报告。政府颁布的法律，遵守就是了交通规则的遵守，学开车知道照办这些都是“单向传输的”为什么教师在课堂讲授就是错误的？西方课堂上教师与学生讲话8：1香港是16：1（TIMSS调查，1999）4424数学教育的核心是让学生掌握数学本质；教育数学的目标是为学生提供优质数学。4425数学教育中的“去数学化”倾向香港科技大学教授项武义认为，大陆的新课程标准有“去数学化”的倾向。“去数学化”，指数学教育只讲“教育学”“心理学”规律，忽视数学实质的揭示。4426第二部分关于数学本质的把握与呈现4427数学教学成功的标志主要看是否达到教学目标：学生是否理解和掌握了数学（数学的科学性），包括：数学本质的理解；数学知识的掌握；数学能力的形成。教育方式是手段（现在的标准：学生活跃？合作？用计算机？探究？……游离于数学本身）奇谈怪论：结果不是最重要的，重要的在于参与；知识不是最重要的，重要的在于过程。4428项目因素优秀良好待提高情意过程教学环境学习兴趣自信心认知过程学习方式思维的发展解决问题与应用意识因材施教尊重个性差异面向全体学生教学方法与手段基本功扎实、有效总评4429数学知识的储备：一个比喻一缸水和一杯水一桶水和一杯水一杯水和一杯水没有水可以打井取水教师的作用：鱼，渔数学本质的把握需要数学修养4430“数学本质”的内涵：1。数学知识的内在联系；2。数学规律的形成过程；3。数学思想方法的提炼；4。数学理性精神的体验。形成数学的教育形态：“返朴归真”，“平易近人”，“言之有理”，“感悟真情”4431数学本质被两种活动所掩盖：1。过度的形式化。“淡化形式，注重实质”。2。教条式的改革。表面热闹、缺乏效率的教学过程。4432例1。三角形内角和问题姜伯驹院士在政协的提案指出“三角形内角和等于180度这样的基本定理，让学生用剪刀将三个角进行拼接实验。只知其然不知其所以然，如何培养思辨能力？”不鼓励学生问为什么，数学课就失去了灵魂。李大潜院士：“老是量，就倒退到尼罗河时代去了”4433三角形内角和定理的价值没有实际价值，超越日常经验。当初古希腊学者不是“量”出来的。价值在于理性思维，从公理出发的演绎推理。建议：要么作公理，要么进行推理。《标准修订稿》探索并证明三角形内角和定理。（基于平行线同位角相等）4434例2。正弦定理的教学（一个忽视数学实质的设计）请同桌同学任意画一个三角形，测量它的各角大小和各边的长，并用计算器分别计算c/sinC,b/sinB,a/sinA的值，看看有什么结果？（学生一个人在画和测量，另一个人在记录和计算，进行合作学习）4435学生abc∠A∠B∠Cc/sinCB/cosAA/sinAA/conBB/sinBA4.13.33.757005006004.3309.6494.3636.3784.308B5.33.13.6107.5033039.505.660-10.3015.5576.3205.692c3336006006002.59862.59862.598根据你们的计算结果和三个小组的交流情况，你们有什么看法？4436正弦定理是量出来的吗？分组测量，汇报结果，这是败笔。数学不能靠大家意见相同得到结论。必须证明。正弦定理的证明很简单。靠“高”为媒介，比一下立刻推得。正弦定理的本质在于找到“三角形的边与角的关系”，平面几何“大边对大角”的数量化。三角是几何的定量化，沟通代数和几何的桥梁。4437例3。Freudenthal经典情景：巨人的手（通过“量”掌握数学本质）比例只是“照片放大”、“地图比例尺”？黑板上留下巨人的手印，请你为巨人设计巨人使用的书籍、桌子和椅子的尺寸。活动设计：1。用自己的手和巨人的手相比。2。定下“比值”3。量自己的书、桌子、椅子尺寸4。用比例放大（量得有价值，有意义）4438例4。坐标活动（长宁）将教室的课桌并拢，用两根有箭头的绳子做成坐标轴；坐标对应学生，请学生自己看坐标；两坐标都是非负的站起来；两坐标相等的站起来；换一个同学做坐标原点。这样活动，抓住了“坐标”的数学实质。4439“坐标确定位置”：定位太低电影院座位：几排几座。电影院位置：某大街和某大路交叉路口教室里座位确定（排、座）经度和纬度。这些都是日常生活经验，不教也会。打电话需要写入课本吗？数学活动经验：坐标原点选取；坐标架的架设，象限的形成。表示数学对象，反映量的变化等4440例6：美国德州(Austin)的一个斜率概念教学设计为了联系学生生活实际,提出情景:“早上起床时,你先要从床上起来(rise),然后走到厨房去做早餐(run)”由此联系到斜率的概念:纵距离与横距离之比riseoverrun.评论：教案设计者只利用了rise和run这两个词的表面意思,并没有突出两者必须存在关联,必须研究二者的比例.难道每个rise和run都有斜率的问题(起床和去厨房这个过程的斜率是什么?)4441另一个美国数学教育故事一组教师引入”二次函数”的方法是首先介绍”毕达哥拉斯定理”.Cindy请她们解释为何要用此定理来引入二次函数概念,回答是:“因为那里有平方”.？！数学的本质完全被曲解了。Cindy继续提问,希望他们能意识到问题所在,结果惹得众人很不愉快.事后,那个学区的教师间接告诉Cindy:“请她以后不要再到我们学区来了.我们不欢迎她!”4442例7。方程概念外在的逻辑形式：含有未知数的等式叫方程。内在的数学本质：方程是为了寻求未知数，在已知数和未知数之间建立的一种等价关系。“方程”思想的本质在于建立关系为了认识“未知数”先生，必须请已知数“先生为媒介，找到一种关系，根据关系就能认识“未知数”先生了。4443方程思想（三根电线的长度）上海51中学陈振宣提供:他的一个学生在和平饭店做电工。发现地下室到10楼的三根电线不一样长。如何测知他们的电阻？袁枚（清）：“学如箭镞，才如弓弩；识以领之，方能中鹄”。4444例8。复数的定义一对有序的实数（x,y)，称做复数。前者成为实部，后者成为虚部。（错）但是，向量也是一对实数！复数的本质在于它的乘法：(a,b)·(c,d)=(ac–bd,ad+bc)4445例9。勾股定理（毕达哥拉斯定理）的教学设计用各种方法发现：方格纸上3，4，5的计算等。6张工作单：发现猜想a2+b2=c2换一种思维：将勾股定理直接告诉学生，用各种美丽的画面，讲述中外有关历史，包括和外星人联系使用的信息。把重点放在如何