华数思维训练导引四年级上

华数思维训练导引——计算问题（三）整数与数列《思维训练导引》四年级第01讲计算问题第03讲整数与数列1、如图1-1所示的表中有55个数，那么它们的和加上多少才等于1994？171319253137434955612814202632384450566239152127333945515763410162228344046525864511172329354147535965图1-1解：它们的和=3×5+9×5+15×5+21×5+27×5+33×5+39×5+45×5+51×5+57×5+63×5=（33×11）×5=1815[或者：它们的和=（31+32+33+34+35）×11=1815]1994-1815=179答：它们的和加上179才等于1994。2、计算：1000+999-998-997+996+995-994-993+……+108+107-106-105+104+193-102-101。解：1000+999-998-997+996+995-994-993+……+108+107-106-105+104+193-102-101=（1000+999-998-997）+（996+995-994-993）+……+（108+107-106-105）+（104+193-102-101）=4+4+……+4+4=［（1000-101）÷1+1］÷4×4=9003、计算：（1+3+5+……+1989）-（2+4+6+……+1988）。解：（1+3+5+……+1989）-（2+4+6+……+1988）=1+（3-2）+（5-4）+……+（1989-1988）=1+1×（1989-1）÷2=1+994=9954、利用公式l×l+2×2+……+n×n＝n×（n+1）×（2×n+1）÷6，计算：15×15+16×16+……+21×21。解：15×15+16×16+……+21×21=21×（21+1）×（2×21+1）÷6-14×（14+1）×（2×14+1）÷6=3311-1015=22965、计算：20×20-19×19+18×18-17×17+……+2×2-1×1。解：20×20-19×19+18×18-17×17+……+2×2-1×1=（20+19）×（20-19）+（18+17）×（18-17）+……+（2+1）×（2-1）=2106、计算：3333×5555+6×4444×2222。解：3333×5555+6×4444×2222=3×1111×5×1111+6×1111×4×2×1111=15×1111×1111+48×1111×1111=（15+48）×1111×1111=63×1111×1111=7×9×1111×1111=9999×7777=（10000-1）×7777=77770000-7777=777622237、计算：19931993×1993-19931992×1992-19931992。解：19931993×1993-19931992×1992-19931992=19931993×1993-（19931992×1992+19931992）=19931993×1993-19931992×（1992+1）=19931993×1993-19931992×1993=1993×（19931993-19931992）=19938、两个十位数1111111111与9999999999的乘积中有几个数字是奇数?解：1111111111×9999999999=1111111111×（10000000000-1）=11111111110000000000-1111111111=1111111118888888889有10个奇数答：乘积中有10个数字是奇数。9、我们把相差为2的两个奇数称为连续奇数。已知自然数1111155555是两个连续奇数的乘积，那么这两个奇数的和是多少？解：1111155555=11111×100005=11111×3×33335=33333×33335，33333+33335=66668答：这两个奇数的和是66668。补充分析：求两个奇数的和，主要是要求出这两个奇数。怎么求？可以用找规律的方法：15=3×5，1155=33×35，111555=333×335，....10、求和：l×2+2×3+3×4+……+9×10。解：l×2+2×3+3×4+……+9×10=（1×2×3+2×3×4-1×2×3+3×4×5+……+9×10×11-8×9×10）÷3=9×10×11÷3=3×10×11=33011、计算：1×1+2×1×2+3×1×2×3+4×1×2×3×4+5×1×2×3×4×5+6×1×2×3×4×5×6+7×1×2×3×4×5×6×7+8×1×2×3×4×5×6×7×8。解：1×1+2×1×2+3×1×2×3+4×1×2×3×4+5×1×2×3×4×5+6×1×2×3×4×5×6+7×1×2×3×4×5×6×7+8×1×2×3×4×5×6×7×8=1！+2×2！+3×3！+4×4！+5×5！6×6！+7×7！+8×8！=（2！-1！）+（3！-2！）+（4！-3！）+（5！-4！）+（6！-5！）+（7！-6！）+（8！-7！）+（9！-8！）=9！-1！=1×2×3×4×5×6×7×8×9-1=36287912、在两个数之间写上一个▽，用所连成的字串表示用前面的数除以后面的数所得的余数，例如：13▽5=3，6▽2=0．试计算：（2000▽49）▽9．解：2000▽49＝40，40▽9＝4答：计算结果是4。13、羊和狼在一起时，狼要吃掉羊。所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼。以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼。这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊和狼，可以用上面规定的运算作混合运算。混合运算的法则是从左到右，括号内先算，运算结果或是羊，或是狼。求下式的结果：羊△（狼☆羊）☆羊△（狼☆狼）。解：羊△（狼☆羊）☆羊△（狼☆狼）=羊△羊☆羊△狼=羊☆羊△狼=羊△狼=狼答：运算结果是狼。14、对于自然数1，2，3，…，100中的每一个数，把它非零数字相乘，得到100个乘积（例如23，积为2×3=6；如果一个数仅有一个非零数字，那么这个数就算作积，例如与100相应的积为1）。问：这100个乘积之和为多少?解：1，2，……，9，和是45；11，12，……，19，和是1×45；21，22，……，29，和是2×45；……；91，92，……，99，和是9×45；10，20，……，90，和是45；100的为1。总和是（1+1+2+3+……+9+1）×45+1＝47×45+1=2116答：这100个乘积之和是2116。15、从1到1989这些自然数中的所有数字之和是多少？解：把1到1998之间的所有自然数，都表示成四位数字的形式：0001，0002，0003，……，1989，……，1996，1997，1998从两头开始配对组合：（0001+1998），（0002+1997），（0003+1996），……共999对每对的四位数字之和都是1+9+9+9=28，所以1到1998的数字和是28×999=27972多算了1990到1998的数字和，即多算了1×9+9×9+9×9+1+2+3+4+5+6+7+8=20727972-207=27765答：从1到1989这些自然数中的所有数字之和是27765。华数思维训练导引----和差倍问题之三四年级上学期第02讲应用题第07讲和差倍问题之三1.四年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，问这四个班共有多少人？分析：由“不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人”得到131+134=265，这265人包括1个甲班和1个丁班，以及2个乙班和2个丙的总和，又因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，所以用265-1=264就刚好是3个乙班和3个丙班之和，264÷3=88，就是说乙、丙两个班的和是88人，那么，甲、丁两个班的和就是88+1=89人。所以，四个班的和是88+89=177人。2.有四个数，其中每三个数的和分别是45，46，49，52，那么这四个数中最小的一个数是多少？分析：把4个数全加起来就是每个数都加了3遍，所以，这四个数的和等于（45+46+49+52）÷3=64。用总数减去最大的三数之和，就是这四个数中的最小数，即64-52=12。3.在一个两位数之间插入一个数字，就变成一个三位数。例如：在72中间插入数字6，就变成了762。有些两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的9倍，求出所有这样的两位数。分析：两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的9倍，即这个数的个位乘以9以后的个位还等于原来的个位，那么个位只能是0或5。如果是0，显然不行。因为20×9=180，30×9=270，......所以个位只能是5。试验得到：15，25，35，45是满足要求的数。4.某班买来单价为0.5元的练习本若干，如果将这些练习本只给女生，平均每人可得15本；如果将这些练习本只给男生，平均每人可得10本。那么，将这些练习本平均分给全班同学，每人应付多少钱?分析：这题要求的是“平均分给全班同学，每人应付多少钱”，我们可以用设数法来求解。假设班上有2个女生，那么就是一共有30个练习本，这30本“只给男生，平均每人可得10本”，说明男生有3个。那么，分给全部按同学，每人得30/（2+3）=6本，因此每人应该付6本练习本的钱，即每人要付3元钱。5.动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒，那么平均分给三群猴子，每只可得多少粒？分析：由题意可知，花生总数必定是12、15、20的倍数。同上题一样，我们也可以用设数法。假设共有花生12*15*20粒，那么第一群猴子有15*20只，第二群猴子有12*20只，第三群猴子有12*15只，即共有（15*20+12*20+12*15）只猴子，12*15*20/（15*20+12*20+12*15）=5，所以平均分给三群猴子，每个猴子可得5粒。注：如果懂得最小公倍数，那么应该设花生总数为60粒，这样，计算就方便很多。6.一个整数，减去它被5除后余数的4倍是154，那么原来整数是多少？分析：被除数除以除数，余数肯定小于除数。所以，余数只可能是0、1、2、3、4，那么，原来的整数只能是：154+4×0，154+4×1，154+4×2，154+4×3，154+4×4中的一个。经试验，结果是162，154+4×2=162。7.若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长和老师共有22人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有1名男老师，那么在这22人中，爸爸有多少人？分析：家长比老师多，所以老师少于22/2=11人，即不超过10人；相应的，家长就不少于12人。在至少12个家长中，妈妈比爸爸多，所以妈妈要多于12/2=6人，即不少于7人。因为女老师比妈妈多2人，所以女老师不少于9人。但老师最多就10个，并且还至少有1个男老师，所以老师必定是9个女老师和1个男老师，共10个。那么，在12个家长中，就有7个是妈妈。所以，爸爸有12-7=5人。8.一次数学考试共有20道题，规定：答对一题得2分，答错一题扣1分，未答的题不计分。考试结束后，小明共得23分，他想知道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是个偶数。请你帮助小明计算一下，他答错了多少道题？分析：20个题如果全部做