第一讲 偏好、效用与消费者的基本问题定

微观经济学•教材与参考书：•1、平新乔《微观经济学十八讲》•2、曼昆：《经济学原理》•3、马斯-科莱尔：《微观经济学》•主讲人：张光宏引言•1、经济学是否是科学？•科学的特征•第一，一元性。万物运动都有自然的规律性，不以人的意志为转移第二，严格性。“知之为知之，不知为不知，是知也”，•第三，严谨性。不承认没有事实依据的先验论•第四，实践是检验真理的唯一标准。•学而时习之，不亦悦乎？有朋自远方来，不亦乐乎？人不知而不愠，不亦君子乎？•第五，严密性。决不应出现互相矛盾•西方经济学的科学方法：•公理-演绎法•2、学习中高级西方经济学的目的：•（1）方法论：在经济现实与经常模型之间来回畅游经济现实经济模型理论结果演绎检验•（2）经济观念：由感性认识上升到理性认识•3.经济学的分类：•（1）按照对象分：微观与宏观•（2）按照目的分：实证、规范与应用政策经济学第一讲偏好、效用与消费者的基本问题第一节消费集与偏好关系第二节效用函数第三节消费者基本问题——效用最大化一、消费集(consumptionset)12n(,,)|ixxxxxi为第种商品的计划消费量nxR第一节消费集与偏好关系性质1nXR性质2、X为闭集(closed)性质3、X为凸集(convex)即如果xy，则0，1(1)xy性质4、0即选择不消费二、偏好preference与效用utility•（一）效用概念的演进•Mill、Edgeworth:效用可测量和相互比较•帕累托（Pareto）：怀疑效用的可测量性•斯拉茨基（SLusky）:用不可测量的效用推导出了需求理论•德布鲁（Debreu）:完成了标准消费理论，效用概念只依赖于偏好关系。（一）偏好关系及其公理axiomⅠ定义：定义于消费集X上的二项关系1、（弱）偏好：给定xy，如果x至少与Y一样好，则记为xy2、严格偏好：如果xyyx且不成立则称x严格偏好于，记为xy3、无差异：如果且yx则称x与y无差异，记为~xyxyⅡ公理公理1（完备性）,xy至少有一个成立。xyyx公理2（反身性）：x成立xx公理3（传递性）：,,xyz，如果,,xyyz则xz公理3的反例：孔多塞悖论•一个家庭有三人组成：母亲（m）、父亲（d）和孩子（c），三个备选方案：歌剧（o）、摇滚音乐会（r）和滑冰（i），三个人均具有理性偏好：•M：o﹥r﹥i•D：i﹥o﹥r•C:r﹥i﹥o•三组多数制投票表决：•O对ro胜•r对Ir胜•i对oi胜•由此可见o﹥r﹥i﹥o•不具有传递性公理4（连续性）：设0x，则集合0|xxx和0|xxx均为闭集即如果0(1,2)nxxn那么0limnnxx如果0(1,)nxxn那么0limnnxx推论，0|~xxx也为闭集公理5（局部非厌足性）：00x及101xxx满足10xx且——总存在改进福利的可能性0(x)0xX12x1x局部非厌足性0(x)0(x)0(x)0x0(x)2x1x0(x)局部非饱和性无差异集合是一条曲线，不存在无差异区域。推论：不存在无差异区域公理6单调性：,xy，xy如果,xy且xy则公理7凸性：,,,xyzxzyz0,1t则(1)txtyz有公理7′严格凸性：,,,xyzxzyz,xy且(0,1)t则(1)txtyz有第二节效用函数一、定义设如果的效用函数。则称为表示:uR,xy()(y)xyuxu(.)u推论：1、()()~()()xyuxuyxyuxuy证明：xyxyyx且不成立()()uxuy()()uyux且不成立()()uxuy~xyxyyx且()()uxuy()()uyux且()()uxuy2、偏好的效用函数如果存在，则其一定不唯一证明：设()ux为的效用函数为任一严格单调增函数，则:FRR(())Fux也是的效用函数()()(())(())xyuxuyFuxFux3、效用函数存在的必要条件是其为理性的。证明：设()ux为xy的效用函数则：①为完备的：因为()()()()uxuyuyuxxyyx或或,xy②可传递的,,,xyzxyyz如果且()()()()()()uxuyuyuzuxuzxz且③反身的,()()xuxuxxx4、效用函数存在的充分条件是：证明见德布鲁《价值理论》北京经济学院1988年是理性且连续二、边际效用设效用函数为12(,...)nuxxx则边际效用ixiuMUx第三节消费者基本问题——效用最大化一、无差异曲线：11(,)(,),nnIxxxuxxcc为常数二.无差异曲线的性质（一）不同的无差异曲线不相交证：设12()()uxuuxu12uu如果两无差异曲相交于x*，则**12()()uxuuxu与假设相矛盾（二）凸向原点在二维消费集下，1x2x（三）效用水平越高，其无差异曲线距原点越远三、边际替代率（MRS）在无差一曲线上j/iijjidxuuMRSdxxxi对j的边际替代率设1(,)nuxxc（C为常数）对ix求偏导得在二维的情况下，它为无差异曲线斜率的绝对值。0/jijiijijxuuxxxuuMRSxx四.预算集记1(,,)0,nipppppi为xi的价格，消费者收入为y预算集|,Bxxpxy二维情况预算线Bx11yp2ypx2p1x1+p2x2=y五、效用最大化模型max1.uxMstpxy其解为,xxpy称为普通（马歇尔）需求函数例.设11212,0,1pppuxxxxp12,,xxppy求解，拉格朗日函数112121122,,pppLxxxxmpxpx求偏导数1111111111111211111222211221ppppppppppppLxxpxpxpxxxpLxxxpxLypxpx求解方程组12000LxLxL得1111111211221112ppppppppppypxppypxpp六.基本问题：解的存性解的唯一性求解方法（一）解的存在性1、0,01,,iypin则B为有界闭集证：pxyiipxyiiyxp从而B为有界同样B为闭集2、u（x）连续u（x）连续，且B为有界的闭集时，则M1有解。（二）唯一性如果u（x）为x的严格凹函数，则M1如果有解时，解必唯一。xy=f(x)证明：凹函数:,,0,1nfxyRt1()1ftxtytfxtfy则反证法：设M1有两个解x1，x2则u（x1）=u（x2）易证得B是凸集0,1t12(1)txtxB即且1212111((1))()(1)()()(1)()()utxtxtuxtuxtuxtuxux故1x非最优解即1max()()uxux与假设相矛盾（三）求解过程如果()ux所表示的偏好满足局部非饱和性，则解x*一定满足：*pxm证明：反证法如果*pxm则令0mpxyB*yx且*,yx使得从而*()()uyux与x*为最优解相矛盾。求解：拉格朗日的表达式()()()Lxuxmpx解的一阶条件为upx即1,,iiupinx从而/,1,,/iijjuxpijnuxp左边为边际替代率，右边为边际交换率边际交换率：一个单位的产品i与jipp个产品j相交换解的必要条件为(性质1)边际替代率=边际交换率2(,1,,)ijijuuijnxx充分条件为加边的海赛行列式1112112122221212(1)00nnnnnnnnnuuupuuupuuupppp1,,iiiiupinxuxp得性质2等边际法则七.比较静态分析（一）收入扩展线（收入——消费线）定义：集合0|(,)Cxxpm为收入扩展线以二维为例，一般有3种情况1、通过原点的一条直线x随m的增加而同比增加，即需求的收入弹性为1X1X2O2、向上方弯曲的曲线210xxmmX1X2O商品2为奢侈品，商品1为必须品3、向后方弯曲即当m达到一定的值后120,0xxmmX1X2O商品1称为低档品，商品2称为正常品。（二）价格扩展线（价格——消费线）定义：集合0|(,)Dxxxpm为价格扩展线以二维为例：1.110xp商品1为普通商品2.110xp这时称商品1为吉芬商品，由Giffen悖论而得名第四节补充与习题•一、不同偏好的效用函数及其无差异曲线的形状•（一）完全替代偏好的效用函数•线性效用函数2121),(bxaxxxu21kaxbx设122100kxxbkxxa当时当时x1x2•其斜率为-a/b,•表示两种商品之间的替代比率为一个常数。•（二）完全互补偏好的效用函数（列昂惕夫效用函数）},min),(2121bxaxxxu•完全互补品的偏好又称为列昂惕夫偏好。消费者愿意按照一个固定的比率共同消费两种商品。•描述完全互补品的无差异曲线呈“L”形。•从原点过无差异曲线的折点做射线，其斜率决定互补比率。•无差异曲线上的其它点都存在自由处置品。x1x2a=bx1x2a/b=1/2（三）拟线性偏好效用函数2121)(),(xxvxxu•从数学性质上看，拟线性效用函数对x2来说是线性的，但对x1来说是非线性的。•因此u（x1，x2）的变化也是非线性的。•从几何意义上看，拟线性效用函数反映一条无差异曲线v(x1)的垂直移动。•其移动距离反映着效用水平k的变化程度，取决于所消费的x1和x2的数量。当x1给定时，x2的变化使曲线平行移动。•当k给定时，x1的变化表现为曲线上点的移动，增加x1的消费将非线性地减少x2的消费。•从经济学含义上看，它反映这样一种经济现象:•消费者在全部收入中将固定的部分用于x1的消费，而将剩余的收入都用于x2的消费。•当收入增加时，消费者并不增加x1的消费，而将增加的收入全部用于x2的消费，这样就使效用水平与收入增加同比例的增加。•(四)中性物品(ANeutralGood)•物品2对效用没有任何影响,仅仅与物品1相关•u（x1，x2）=x1（四）柯布—道格拉斯偏好的效用函数它是性态良好的无差异曲线的标准范例，也是产生形态良好的偏好的最简单的代数表达式。其特征在于总可以通过单调变换使其指数和等于1，即使之具有一次齐次函数的特点。。1212(,),0,0cduxxxxcd•一次齐次效用函数是说，当你按照一定比例增加x1和x2商品的消费时，效用水平也按照同样的比例提高。比如，x1，x2的消费数量增加一倍，效用水平也增加一倍，即“规模效用”不变1212(,)cduxxxx1对升次幂c+d11212,(,)aacauxxxxcd设得Cobb-DouglasIndifferenceCurvesx2x1二、边际效用和边际替代率•（1）它表示是消费者在效用水平不变条件下所愿意接受的一种交换比率。•（2）边际替代率的几何描述是无差异曲线的斜率。•（3）单调变换不改变边际替代率。三、预算线的变动定义表示在消费者收入和商品价格给定条件下，消费者所能购买的不同商品组合的集合。预算方程1020304060200(m/PY)=4080=(m/PX)YXACDEBYXPPdXdY斜率XYYPmYXPP定义1020304060200(m/PY)=4080=(m/PX)YXACDEB00XYPXPYmXY预算线预算空间或可购集•(一)收入或价格变化对预算约束（线）的影响–收入变化XYOA0B0收入增加使预算线向右上方平行移动