大学数学偏导数

第二节偏导数一、偏导数的定义及其计算法:,),(),(00的某一邻域内有定义在点设yxyxfz定义zx记,的偏增量关于称为xz),,(),(0000yxfyyxfzy记,的偏增量关于称为yz,),(),(limlim000000存在若xyxfyxxfxzxxx,),(),(00的偏导数处对在则称此极限为xyxyxfz,:00yyxxxz记作,00yyxxxf,00yyxxxz),,(00yxfx).,(00yxfx),,(),(0000yxfyxxf的偏导数定义为处对在同理yyxyxfz),(),(00yzyy0lim,),(),(lim00000yyxfyyxfy,:00yyxxxz记作,00yyxxxf,00yyxxxz),,(00yxfx).,(00yxfx,:00yyxxyz记作,00yyxxyf,00yyxxyz),,(00yxfy).,(00yxfy,),(),(的偏导数为偏导函数、对于处对在yxyxyxfz),,(,,,:yxfzxfxzxx分别记作),,(,,,yxfzyfyzyy和00yyxxxz,)(00yyxxxz),(yxfzxfxzxx即,),(),(lim0xyxfyxxfx),(yxfzyfyzyy.),(),(lim0yyxfyyxfy?00yyxxyz00)(yyxxyz00yyxxxz,)(00yyxxxz00yyxxyz00)(yyxxyz),,(),,(00yxyxfz设00yyxxxz),,(0yxfu记0xxdxdu00yyxxxz,),(),(lim00000xyxfyxxfx00yyxxdxdu.),(),(lim00000xyxfyxxfx?解xz;32yxyz.23yx21yxxz,8231221yxyz.72213.)2,1(1322处的偏导数在点求yxyxz例1解xz,)2cos(22yxx.,,)2sin(2yzxzyxz求设练习1yz.)2cos(22yx.,11tansin)3(31222yxxzyxxyyxz求设练习2解31yxxz1))3,((xxxf12)(xx1)2(xx.2xz,1yyxyz,lnxxyyzxxzyxln1左xxxyxyxyylnln11yyxxz2证.2ln1),1,0(zyzxxzyxxxxzy求证设//例2.右证VRTPVPPRTVTVRPVTPTPTTVVP2VRTPRRV.1PVRT),(为常数程为已知理想气体的状态方RRTPV例3.1:PTTVVP求证,2VRT,PR,RV.:,222zrzyryxrxrzyxr证明设例4xr解212221zyxxzyx)(22222222zyxx222zyxx,rx有同理,,ryzr,rzzrzyryxrxrzryrx222rr2.ryr).0,0(),0,0(,),(,yxffxyyxfz求设例如◆有关偏导数的两点说明：１、２、求分界点处的偏导数要用定义求.解xxfxx0|0|lim)0,0(0,0.0)0,0(yf;,不能拆分是一个整体记号偏导数xz◆偏导数的概念可以推广到二元以上函数:如在处),,(zyxfu),,(zyxxzyxfzyxxfzyxfxx),,(),,(lim),,(0yzyxfzyyxfzyxfyy),,(),,(lim),,(0zzyxfzzyxfzyxfzz),,(),,(lim),,(0,lim0xuxx,lim0yuyy.lim0zuzz解).3,2,1(,,,,),,(xxzyfzuyuxuzyxzyxfu求设练习3xu1yyxyuxxylnzuyyzln)3,2,1(xf2,lnzzx,1zzy,1xxz.3ln3◆偏导数的几何意义:如图:0yxyzO),(yxfz),(00yxfx),(00yxfy0x切线的斜率.),(0yxfz偏导数存在连续.多元函数,某点偏导数存在连续，一元函数,可导连续，◆偏导数存在与连续的关系:例如,函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在)0,0(处，0)0,0()0,0(yxff.但函数在该点处并不连续.),,(22yxfxzxzxxx),(22yxfyzyzyyy),,(2yxfyxzxzyxy),(2yxfxyzyzxyx函数),(yxfz的二阶偏导数为二阶纯偏导二阶混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.二、高阶偏导数解xz33yyz22xz,022yzxyz2yxz2,133xyxyz设例5.,,,,222222xyyxzxyzyxzyzxz求,y29xy,x,18xy29y,129y,1xyyxzxyxyz))((xyy))19((2.0解xu.,cos的二阶偏导数求设ubyeuax例6,cosbyaeaxyu,sinbybeax22xu,cos2byeaax22yu,cos2byebaxyxu2,sinbyabeaxxyu2.sinbyabeax定理,),(22内连续在和的混合偏导数若Dxyzyxzyxfz.22内相等在和则Dxyzyxz◆偏导数的定义◆偏导数的计算、偏导数的几何意义◆高阶偏导数（偏增量比的极限）纯偏导混合偏导三、小结与教学基本要求：◆掌握：◆练习：:求下列函数的偏导数)1ln()sin(.12xyxyxzyyyxxz)(sin.2sin2ln.3lnln32zyxzyxu◆练习题求解：:求下列函数的偏导数)1ln()sin(.12xyxyxzyxzyz)cos(22yxxy)cos(22yxx1yyx,1xyyxxyln.1xyx解：◆练习题求解：:求下列函数的偏导数xzyz1sinsinyxyyxxycoslnsin,cos)(sin1xxyy.sinln)(sinxxy解：yyxxz)(sin.2sin◆练习题求解：:求下列函数的偏导数xuyux223y,ln1lnzxz,1lnlnyzzy解：2ln.3lnln32zyxzyxuzu1lnlnyzy.1lnlnzxxz习题9-2(P69):1(1,3,5),4,5,6(2).