第2章：流体力学基本方程

第二章流体力学基本方程2.1质量守恒2.1欧拉质量守恒质量守恒定理上述积分的积分区域V是任选的，要使积分恒等于零，只有被积函数等于零，VdvDtD0Vkkdvuxt00kkuxt0kkxuDtD质量守恒定理在流动过程中流体团体积V的大小和形状可能会发生变化，但质量保持不变。由雷诺输运定理，2.1欧拉质量守恒定常流动和不可压缩流体的连续方程对于定常流动，，连续方程可简化为，0t0kkux0DtD0kkxu对于不可压缩流体，，连续方程可简化为，0kkxuDtD0kkuxt其物理意义是：流体在单位时间流经单位体积的空间时，流出和流入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。流体质点可沿线或线流动，此时其密度保持为常数或，因此，但，。2.1欧拉质量守恒密度分层流动0DtD12120DtD0x0y21不可压缩流体上述定义并不要求这个流体质点与另一个流体质点的密度相等，即不要求密度场为均匀场。密度分层流动可能发生在大气中（由空气温度变化引起），也可能发生在大洋中（由于水的含盐量变化引起）。密度分层流动0DuDttt0const均质不可压缩流体密度处处相等的不可压缩流体不可压缩流体均质流体0DtD密度不是x、y、z的函数密度也不是t的函数在绝大多数情况下，不可压缩流体也是均质的。物质导数定义式均质不可压缩流体2.1欧拉质量守恒连续性方程的证明微平行六面体2.1欧拉质量守恒第二雷诺输运定理VVdvDtDdvDtDVkkVdvuxtdvDtD)(Vkkkkdvxuxutt)(VVkkkkdvxutdvxut)(0)(kkxutDtDαxαutαkkdvDtDdvDtDVV证明：根据连续方程，又于是，2.2动量守恒定理2.2动量守恒定理积分形式的动量方程系统的动量，作用在系统上的质量力作用在系统上的表面力由动量定理得积分形式的动量方程VdvuVdvfSndspVVSndvfdspdvuDtD任取一体积为V的流体，它的边界面为S，根据动量定理，系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的质量力和表面力之和。积分形式动量方程SxSBxnxVxFFdSvudVtuSySBynyVyFFdSvudVtuSzSBznzVzFFdSvudVtu积分形式动量方程对于恒定流动，动量方程左端第一项等于0，上式可简化为SSzBznzSSyBynySSxBxnxFFdSvuFFdSvuFFdSvu微分形式的动量方程实际流体微六面体各表面的应力分量微分形式的动量方程zyxpfdtduzxyxxxxx11zxypfdtduzyxyyyyy11zxzpfdtduyzxzzzzz112.2动量守恒定理微分形式的动量方程nVSVDudvpdsfdvDtVVdvDtuDdvuDtDσnpnVVSdvfdsndvDtuDσVVVdvfdvdvDtuDσ0VdvfDtuDσfDtuDσfuutuσSVndsdvσσ2.2动量守恒定理用张量表示法表示动量方程方程左边表示单位体积流体的动量变化率：第一项是当地加速度项；第二项是对流加速度项，由速度分布的不均匀性引起，即使是定常流动这一项也可能不等于零。对流加速度项是非线性的。方程右边第一项是应力张量的散度，表示作用在单位体积流体上的表面力；第二项表示作用在单位体积流体上的质量力。ijijifxDtDuijijjijifxxuutufDtuDσfuutuσ用张量表示法表示动量方程，2.2动量守恒定理守恒形式的动量方程VVSndvfdspdvuDtDS,nVpnndSdVσσσ()VVVuuudvdvfdvtσ()0Vuuufdvtσ()uuuftσjiijkjkjfxuuxutuu并矢是二阶张量。2.3能量方程对于一个静止的热力学系统（或起始和终止状态处于静止的系统）：系统内能的增加等于外力对系统所作的功与外界传递给系统的热量之和。一个确定的流体团也可看作一个热力学系统，流体质点总在流动中，设该系统偏离平衡态不远：系统总能量的变化率（包括内能和动能）等于外力对系统的作功功率与通过导热向系统的传热功率之和。热力学第一定理2.3能量方程传热功率，热通量离开系统表面时为正，这里求传递给系统的传热功率，所以积分号前加负号2.3能量方程积分形式的能量守恒方程任取流动系统体积V，外表面S，表面外法线单位矢量为系统总能量，，e为单位质量流体的内能；单位质量流体的动能表面力作功功率，质量力作功功率，nVdvuue21uu21根据能量守恒原理得积分形式的能量方程，VStSSShSVvdVfvdStdtdWdSTdSTkdSvgzvedVvetgradkgrad22h2121VdSvfStdtWSSnpdvpWSSgraddTkSh2.3能量方程积分形式的能量方程上式中左端第一项为能量的就地增长率；第二项为流体运动从控制体净流出的能量通量。式中右端第一项为传入控制体的热量通量；第二项为对流体做的转轴功率；第三项为控制面上法向应力对流体做的功率；第四项为控制面上切应力对流体做的功率；最后一项为重力以外的其他质量力对流体做的功率。2.3能量方程微分形式的能量方程Tkvvfvevveth11222121或写为：Tkvvfvedtdh11221dvuueDtDdvuueDtDVV2121nSSSVupdsundsnudsudvσσσVSdvqdsqnVVVVdvqdvfudvudvuueDtD21σ12DeuuuufqDtσiiiiijjiiixqfuuxuueDtD21第二雷诺输运定理高斯定理SVSnVdsqndvfudspudvuueDtD21微分形式的能量方程动量方程ijijifxDtDuiuiijijiiifuxuDtDuuiijijiiifuxuuuDtD21iu上述方程可看作在i方向的受力平衡式和速度作点乘，即方程两边都乘以，表示力的机械功功率，所以上式是机械能守恒方程。两边同乘，机械能方程iiijijxqxuDtDeiiijijkkxqxuxeute上式左边表示内能的变化率，第一项是当地变化率，第二项是对流变化率，是由于流体质点从一个区域运动到另一个区域引起的。公式右边是引起内能变化的动因，第一项表示由于表面力的作用引起的机械能向内能的转换功率，第二项则表示由于导热从外界向系统内部的传热功率。总能量方程减去机械能方程12jijiiiijjiiiiiuqDeuuuufDtxxx12ijiiiiijDuuuufDtx内能方程2.4Navier-Stokes方程2.4Navier-Stokes方程N-S方程s是应变率张量jiijjfxDtDuijjikkijijiiijxuxuxupxxijjiikkjjxuxuxxuxxpiijjiikkjjjfxuxuxxuxxpDtDufupDtuD)2(suxukk2jijiuuxxs动量方程，本构方程不可压缩流体(动力粘性系数为常数)2.4Navier-Stokes方程ijijiiijjiixuxxuxxuxux2222ijijiijxuxuxuxjijjjfxuxpDtDu22fupDtuDiijjiikkjjjfxuxuxxuxxpDtDu.const2.4Navier-Stokes方程欧拉方程（）0iiifxpDtDufpDtuDjijjjfxuxpDtDu222.5能量方程称耗损函数，表示流体变形时粘性应力对单位体积流体的作功功率，这部分机械能向内能的转变是不可逆的，在一切流体和一切流动中总大于零。2.5能量方程内能方程jjijijxqxuDtDeijijkkijijijijijxuxupxupxuijijxukkxupijijjikkijijijxuxuxuxuxuijijjikkxuxuxuxu2jjjjjjxTkxxTkxxqjjkkxTkxxupDtDe)(TkupDtDe，表示表面力作功功率，可包括两部分：压缩功功率，表示流体体积变化时，外部压强在单位时间内对单位体积流体作功的功率，这种转变是可逆的；导热功率2.5能量方程能量方程其它形式内能方程，连续方程，于是内能方程可改写为，热力学关系式，则内能方程可变换为，或)(TkupDtDe110DtDpDtDpupDtDuuDtDTkDtDpDtDe1dpdhpddeTds11