高数B第五章第五节

第五节定积分的物理应用二、液体静压力一、变力沿直线做功三、引力四、小结、思考题五、作业设物体在连续变力F(x)作用下沿x轴从x＝a移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.xdxx在其上所作的功元素为xxFWd)(d因此变力F(x)在区间上所作的功为()dbaWFxxabx1.变力沿直线所作的功例1一圆柱形贮水桶高5m,底面半径为3m,桶内装满了水,试求把桶内的水全部吸出需作多少功?xx+dxyxO解建立如图所示坐标系,选取x为积分变量,变化区间为[0,5],3m5m功元素为29.8πdd3xWx88.2πd.xx从而所求的功为5088.2πdWxx3462(kJ).面积为A的平板设液体密度为,深为h处的压强:gphh当平板与水面平行时,PpA当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用定积分解决.平板一侧所受的压力为••2.液体静压力小窄条上各点的压强gpx32g.3R例2的液体,求桶的一个端面所受的侧压力.解建立坐标系如图.所论半圆的)0(Rx利用对称性,侧压力元素RP0xxRxdg222OxyRxdxx222RxPdxg端面所受侧压力为dx方程为一水平横放的半径为R的圆桶,内盛半桶密度为24πg4RR,d222xxR说明当桶内充满液体时,,)(gxR小窄条上的压强为侧压力元素Pd故端面所受侧压力为奇函数3πg.R)(gxR2204gdRRRxxoxyRxxxd质量分别为的质点,相距r,1m2mr二者间的引力:大小:方向:沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力,则需用定积分解决.3.引力例3.设有一长度为l,线密度为的均匀细直棒,其中垂线上距a单位处有一质量为m的质点M,M该棒对质点的引力.解:建立坐标系如图.y2l2l],[dxxx细棒上小段对质点的引力大小为dkFxmd22xa故垂直分力元素为cosddFFya22dxaxmk22xaa23)(d22xaxamkaxox在试计算FdxFdyFdxxd利用对称性223022)(d2lxaxamkFy02222lxaaxamk22412laalmk棒对质点引力的水平分力.0xF故棒对质点的引力大小为2lFdxFdyFdMy2laoxxxxd棒对质点的引力的垂直分力为22412llmkFaaloxyacosdFyFd23)(d22xaxamkxFd23)(d22xaxxmklyxaxamkF02223)(dlxxaxxmkF02223)(d引力大小为22yxFFF22ddxaxmkFxxxdxFdyFdsindF注意正负号2)当质点位于棒的左端点垂线上时,例4设L为星形线3cos,xa3sinya在第一象限,在L上分布线密度223(,)()xyxy的质量,在原点有一质量为m的质点,求L对质点的引力.aayxO解如图,取θ为积分变量,π0,2,P任取小区间π[,d]0,2,对应该区间d上小弧段对质点的引力大小近似于22(|d|)GxFym(,)dxys22||dGmrxy3||cossind,aGmr变化区间为aayxOPd方向近似于,OP故沿坐标轴方向的分量分别为dxF243cossind,aGmdyF243cossind.aGm3cossin(||co,)dsaGmr3cossin(||si,)dnaGmrπ24203cossindxFaGm23,5amGπ24203cossindyFaGm23.5amGdcosFdsinF|d|3||cossin,dFaGmr33cos,sin.xaya五、作业一个单求电场力所作的功.qOrabrdrr11解当单位正电荷距离原点r时,由库仑定律电场力为则功的元素为rrqkWdd2所求功为rqk1ab11().kqab位正电荷沿直线从距离点电荷a处移动到b处(ab),在一个带+q电荷所产生的电场作用下,例1解作x轴如图.Ox30dxx例4为清除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底,泥后提出井口,缆绳每在提升过程中污泥以20N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,问克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30m,抓斗自重400N,将抓起污泥的抓斗由抓起污x提升x+dx所作的功为米重50N,提升抓斗中的污泥:井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m∕s,污泥以20N∕s的速度从抓斗缝隙中漏掉1dW克服缆绳重:2dW抓斗升至x处所需时间:(s)3x91500(J).300[40050(30)(200020)]d3xWxx3dW321dddd克服抓斗自重:Ox30dxx400dx50(30)dxx(2000dx20)3x