高数 高斯公式 通量与散度

19.42.通量与散度1.高斯公式Green公式推广Gauss公式高斯公式通量与散度2一、高斯公式定理1设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数P(x，y，z)、Q(x，y，z)、R(x，y，z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有)1(,)(RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP或dvzRyQxP)(（1′）,)coscoscos(dSRQP这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα、cosβ、cosγ是Σ上点(x，y，z)处的法向量的方向余弦。公式（1）或（1′）叫做高斯公式。3231zyxyxD),,(yxRyxyxRdd),,(,),(:11yxzz证明:设,321zzRyxzyxzd),(),(21yxD),(2yxz),(1yxzyxRddyxD2zyxzRdddyxdd13yxRdd为XY型区域,),,(:22yxzz则yxyxRdd),,(yxDyxD),(2yxzyxyxRdd),,(),(1yxz4所以zyxzRdddyxRdd若不是XY－型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个XY–型区域,故上式仍成立.正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证zyxyQdddyxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPdddxzQddzyxxPdddzyPdd三式相加,即得所证Gauss公式：5（2）关于Ω的边界曲面的正向：Ω是单连通区域时取外侧；Ω是复连通区域时外层取外侧，内层取内侧。关于高斯公式的说明:（1）如穿过Ω内部且平行于坐标轴的直线与Σ的交点多于两个时，采用分块的方法…6（3）高斯公式成立的条件：Σ光滑或分片光滑，P、Q、R在Ω上一阶偏导连续。（4）Σ不闭合时，采取“补面”的方法：Σ+Σ1封闭，所围区域Ω。及易于计算dvzRyQxP)(1AdS7例1用Gauss公式计算其中为柱面闭域的整个边界曲面的外侧.解这里利用Gauss公式,得原式=zyxzyddd)((sin)dddrzrrz(用柱坐标)zzrrrd)sin(dd30102029x3oz1y,)(xzyP,0QyxR及平面z=0,z=3所围空间思考若改为内侧,结果有何变化?若为圆柱侧面(取外侧),如何计算?8例2利用Gauss公式计算积分其中为锥面222zyxhozyx解作辅助面,:1hz,:),(222hyxDyxyx取上侧1(I1Szyxd)coscoscos)(2220,21上在介于z=0及z=h之间部分的下侧.1,记h1所围区域为,则zyxzyxddd)(2yxhyxDdd29zyxzyxIddd)(2利用重心公式,注意0yxzyxzddd24hyxhyxDdd2421hhz022zzd4hhozyxh110例3计算其中dxdyzdzdxydydzx222（1）的外侧；（2）的内侧；解(1)(222)Ixyzdv(2)(222)Ixyzdv3834233aRRa2222:Rzyx2222)(:Razyx0002zdv11例4计算，Σ为平面x+y+z=1与三坐标面所围成的表面，取外侧。dxdyydzdxdydzx)1(解111(110)21323Idv比用第二类曲面积分的方法简单得多。12例5.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI设为曲面21,222zyxz取上侧,求解作取下侧的辅助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD)1(20d10dr202dcos12131zoxy211用柱坐标用极坐标13coscoscoszvyvxv在闭区域上具有一阶和二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式Sd例6设函数uzyxddduzyxdddxuyuyvzuzv其中是整个边界面的外侧.uPxvuQyvuRzv分析zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPddddddxv高斯公式222222zvyvxv14证令uP,xvuQ,yvuR,zv由高斯公式得222222zvyvxvcoscoscoszvyvxvuSd移项即得所证公式.yvzvxv15二、通量与散度引例设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为(,,)(,,)(,,)(,,)vxyzPxyziQxyzjRxyzk理意义可知,设为场中任一有向曲面,ddddddPyzQzxRxy单位时间通过曲面的流量为则由对坐标的曲面积分的物由两类曲面积分的关系,流量还可表示为coscoscosdPQRS=dvSndvS16若为方向向外的闭曲面,yxRxzQzyPdddddd当0时,说明流入的流体质量少于当0时,说明流入的流体质量多于流出的,则单位时间通过的流量为当=0时,说明流入与流出的流体质量相等.n流出的,表明内有泉;表明内有洞;根据高斯公式,流量也可表为n③17如果Σ是高斯公式(1)中闭区域的边界曲面的外侧，那么高斯公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域Ω的流体的总质量。由于我们假定流体是不可压缩的，且流动是稳定的，因此在流体离开Ω的同时，Ω内部必须有产生流体的“源头”产生出同样多的流体来进行补充。所以高斯公式左端可解释为分布在Ω内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量。设Ω的体积为V，式（1）两端同除以V，有dSvVdvzRyQxPVn11上式左端表示Ω内的源头在单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值。18方向向外的任一闭曲面,记所围域为,设是包含点M且为了揭示场内任意点M处的特性,在③式两边同除以的体积V,并令以任意方式缩小至点M则有VMlimMzRyQxP此式反应了流速场在点M的特点:其值为正,负或0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.19定义设有向量场kzyxRjzyxQizyxPzyxA),,(),,(),,(),,(其中P,Q,R具有连续一阶偏导数,是场内的一片有向则称曲面,其单位法向量n,SnAd为向量场A通过有向曲面的通量(流量)。在场中点M(x,y,z)处称为向量场A在点M的散度。记作AdivzRyQxP200divA表明该点处有正源,0divA表明该点处有负源,0divA表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.0divA若向量场A处处有,则称A为无源场。例如,匀速场),,,(),,(为常数其中zyxzyxvvvvvvv0divv故它是无源场.说明:由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且21*例7.置于原点,电量为q的点电荷产生的场强为rrqE3.divE求解:3ryy3rzz3522rxrq5223ryr5223rzr03rxx),,(3zyxrq)0(r计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.)0(rqEdiv22例8已知向量，Σ为圆柱的全表面，求A穿过曲面Σ而流向其外侧的通量。解：222dxdydzydzdxzdxdyASdV)zyx(Adv2div2202200hazdzdxdyzdvhxyDkzjyixA222)0(222hzayx23内容小结1.高斯公式及其应用公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd应用:(1)计算曲面积分(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:0ddddddyxRxzQzyP0zRyQxP242.通量与散度设向量场P,Q,R,在域G内有一阶连续偏导数,则向量场通过有向曲面的通量为G内任意点处的散度为),,,(RQPAndd或ASASzRyQxPAdiv25思考与练习所围立体,判断下列演算是否正确?(1)yxrzxzryzyrxdddddd333333vRd324R(2)yxrzxzryzyrxdddddd333333vrzzryyrxxd33333331Ryxzxzyzyxdddddd33331Rvzyxd)(3222为2600cosrn00rn备用题设是一光滑闭曲面,所围立体的体是外法线向量与点(x,y,z)的向径试证证:设的单位外法向量为则coscoscosrzryrxSrdcos31vd331V的夹角,积为V,