第一章 ,第四节 不可数无穷集

,]10[11Ix的闭区间，记为含点三等分，取其中一个不，将,221IxI的闭区间，记为含点三等分，取其中一个不再将nIII21]1,0[闭区间套：这样继续下去得到一个),2,1(,,31||nIxInnnn1不可数集的存在性(区间[0,1]是不可数集)[][][]01/32/31},,,,{21nxxx证明：假设［0,1］是可数集,则[0,1]可以写成一个无穷序列的形式：,,000xxnn使得根据假设，应存在],1,0[10nnIx一点由区间套定理，存在唯相矛盾。而这与因此有000,1nnnnnIxIx.]1,0[不是可数集所以[][][]01/32/31数的进位制简介十进制小数相应于对[0,1]十等分二进制小数相应于对[0,1]二等分三进制小数相应于对[0,1]三等分说明：对应[0,1]十等分的端点有两种表示，如0.2000000…0.1999999…（十进制小数）第一次十等分确定第一位小数第二次十等分确定第二位小数不可数集的存在性的另一种证明证明：假设（0,1）是可数集,则（0,1）可以写成一个无穷序列的形式：把每个数写成正规小数（不能以0为循环节）},,,,{21nxxx1111213140.xaaaa2212223240.xaaaa3313233340.xaaaa4414243440.xaaaa,,,令x=0.a1a2a3a4…其中1211{nnnnaana则得到矛盾，所以(0,1)是不可数集。定义：与[0,1]区间对等的集合称为连续势集，其势记为，显然：0n例：1）R~(0,1)~[0,1]~[0,1)~R+~a,b(ab).,,00ABABA则　　　若2连续势集的定义2）无理数集为连续势集（无理数要比有理数多得多，同理超越数要比代数数多得多）AxxxxAin则定理：设)},1,0(:),,,,{(21),,()(,10:xxxA），（首先考虑映射证明32121.0),,,,,(iiiiinxxxxxxxxxA：表示成十进制无穷小数把每个中的任意元素另一方面，对于3连续势集的性质（卡氏积）（1）有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集:01(0,1)~((0,1)),AAA容易验证（，）是单射，所以因此2213122111.0)(),1,0(:xxxxxxA作映射BernsteinA再由定理可知(0,1)~()(0,1),AAAA容易验证：是单射，所以因此123,,,012990iiixxx其中是，，，，中的一个数，不全为且不以为循环节。1312111.0xxxx2322212.0xxxx3332313.0xxxx的势为　空间维nREuclidn1874年Cantor考虑R与Rn的对应关系，并企图证明这两个集合不可能构成一一对应，过了三年，他证明了一一对应关系是存在的，从而说明Rn具有连续基数，他当初写信给Dedekind说：“我看到了它，但我简直不能相信它”.推论平面与直线有“相同多”的点连续势集的性质（并集）连续势集的（有限个，可数个，连续势个）并仍为连续势集),0(],1(~11nnAnnn(](](]012n-1n(](](]012n-1n11~(1,](0,]nniiiAiin2}|),{(~RRxyxARyyRyy.2:AACantorA，则是一个任意的非空集合设定理2,~{{}:}2.AAAAaaA证明：首先与的一个子集对等是显然的只要考虑即可AAAAAA2~:2,2~上的一一映射到则存在假设4无最大势定理从而说明无限也是分很多层次，且不存在最大的集合.***)(,AaAa使得因此存在的关系与现在考虑**Aa******)(,1AaaAAa的定义，应有则由若******2(),aAaAaA若则由的定义，应有.2AA这是矛盾的，所以AAAA2**的子集，即是由于)}(,:{*aaAaaA令:~2AA此证为对角线方法，与(0,1)是不可数集的证明比较。尽管Cantor在1883年就证明了这个定理，但直到1899年Cantor才发现，这个定理本身与他给出的集合的定义有矛盾，即所谓的Cantor的最大基数悖论.得到了矛盾。这样就因此中，所以的任意元素已在的定义知，另一方面，由定理，根据记为集合，在一起，也能组成一个认为把所有的集合汇总,2,22;2.MMMMMCantorMCantorMMMM因此Cantor在1899年给Dedekind的一封信中曾指出,人们要想不陷于矛盾的话,就不能谈论由一切集合所组成的集合.集合悖论1(){01},();3:{01}[0,1]{01}NnnNNnff对任意的，令易知，是单射，所以，)2(}10{20即：，或定理RRNN证明：由于N的子集全体与特征函数全体存在一一对应关系，故2N与{0,1}N对等；下证：N}10{，说明：相当于把对应到一个三进制小数)3()2()1(.05可数势与连续势思考：为什么不用二进制。N上的特征函数全体1123(0,1),,0,112(0)nnnnaxxaxaaa另一方面，对设（有无穷多）即：将写成二进制小数0.，且要求不以为循环节123123:(0,1){0,1}{0,1},(),1,2,3,(,,,))NNngxnanaaaaaa作其中即将小数0.对应到序列（(0,1){0,1}2NNg易证：是单射，因此NBernstein2定理知：由Hilbert在1900年第二届国际数学家大会上将它列为二十三个难题的第一个问题。注记：从前面我们已经看到：020nCantor认为在之间不存在别的基数，即不存在这样的集合A,使得但Cantor证明不了,这就是著名的Cantor连续统假设。与0A0连续统假设在Zermelo-Frankel公理集合论体系下参见：《数学与哲学》张景中，《数理逻辑概貌》莫绍揆ZF公理集合论体系下的连续统假设1940年Godel证明了连续统假设的相容性（即不能证明它不真）；1962年Stanford大学的P.J.Cohen证明了它的独立性（即不能用其他公理证明它真）；21212122112121)1,,,,,,,AAAAAAAA记而且使得取集合设有基数212122112121)2,,,,,,AAAAAA记使得取集合设有基数6基数的运算;},:|{)3BBAABffA记设,,,,,,AABA使得取集合设有基数对一些记号的说明}|),,,{(}},,3,2,1{:{21},321{RxxxxRnRnfRinn的卡氏积个可看成，，，2{01}AA与，间存在一一对应（一个子集对应到其相应特征函数）的映射全体，，到表示，的子集全体，表示}10{}10{2AAAA}|),,{(}},3,2,1{:{21RxxxRRRRfRiN的卡氏积可看成可数个如的卡氏积）个的映射全体（到表示BABABA思考：如何推广不可数个集合的卡氏积？第五节半序集第一章集合主讲：胡努春1半序集数学三大母结构（Bourbaki学派观点）：拓扑结构（邻近关系），代数结构（运算关系），序结构（顺序关系）（测度（长度、面积、体积））例：对实数集R有远近关系，四则运算，大小顺序，区间有长度半序集定义aabaabba则若,,cacbba则若,,⑴自反性:⑵反对称性:⑶传递性:则称A按成一半序集（偏序集）。设A是一集合，为A中的某些元素的关系且满足:例⑴是一半序集.⑵是一半序集.),(R),2(R2Zorn引理与选择公理),(AZorn引理：设是一偏序集，A中的每个全序子集有上界，则A必有极大元。}{AAB,选择公理：设为一簇两两不交的非空集簇，则存在一集B使得是单元素集。对选择公理的说明利用选择公理，Banach在1924年证明了分球定理，即一个闭球U可分解成两个互不相交的集合A，B且U与A可由相同多的有限多个互相合同的子集并成，U与B可由相同多的有限多个互相合同的子集并成；粗略来说即可把一个球U分解成两个与U具有同样体积的球A和B。（见：王世强《数理逻辑与范畴论应用》）选择公理的说明通俗讲，假如有无限双鞋子，则我们有一规则，从每双鞋子中取出左脚穿的鞋子，其总体构成一集合；但若是无限双袜子，由于袜子不分左右，所以就有多种选择，要承认这种成员不确定的集合存在，就要引用选择公理。数学中许多重要定理的证明都需要用到选择公理，如Lebesgue不可测集的存在，拓扑空间紧性的Tychonoff定理等。注：关于选择公理的一些等价命题，可参见《一般拓扑学》（J.L.Kellyp34）