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当前位置:首页 > 电子/通信 > 综合/其它 > 高级通信原理第4章 信号的分析
第4章信号的分析主要内容信号的空间分析信号的矢量表示方法统计判决理论AWGN条件下的最佳接收及误码率分析带通信号和系统的等效低通分析希尔波特变换解析信号频带信号与带通系统4.1信号的空间分析重点:常见调制信号的空间表示格拉姆-施密特正交化:如何将一组n维向量构成一组标准正交向量?正交矢量空间表示:任何矢量可以用一组标准正交向量的线性组合来表示。--用矢量空间中的一个点来表示某矢量。复习格拉姆-施密特正交化提问信号是否可以用矢量表示?设一组标准正交函数为fn(t),n=1,2,..,N,即nmnmdttftfmn10信号s(t)可以由fn(t)的线性组合来近似Nknntfsts1ˆ这一近似的误差为tststeˆ如何求得系数sn,使得误差的能量最小?Nndttftssnn,...2,1,结论:Nknntfsts1例题:已知一组标准正交函数如下,试画出信号空间中一个点所对应的信号波形。1)标准正交基2)信号的空间表示3)数字调制信号的矢量空间表示信号的正交展开方法(GranSchmidt)设一组信号为si(t),i=1,2,…M,现求一组正交函数来表示这组信号。第一步:设归一化的s1(t)为第一个正交函数,即第一个单位长度的正交矢量为111tstfdttsii2第二步:计算s2(t)在f1(t)上的投影dttftsc1212从s2(t)中减去c12f1(t),即得到s2(t)信号中所包含的与f1(t)正交的部分tfctstf11222将f2’(t)归一化,即得到第二个单位长度的正交矢量dttftftf2222''这里第三步:求第k个正交函数dttftscikik11Kiiikkktfctstfdttftftfkkk2''正交化过程继续下去,直到所有M个信号波形处理完毕,则N≤M个标准正交波形构造完成。其中信号的矢量空间表示例设一组信号为si(t),i=1,2,3,4,现求一组正交函数来表示这组信号。21111tststf022012201212dttstsdttftsc022tstf2'22222tsdttftstf222013301313dttstsdttftsc022023302323dttstsdttftsc解:otherwise032102132133ttststftftstftfdttftftf'''32333同理1,0,2342414ccc023143144tftststftftstf21111tststf2'22222tsdttftstftststftftstf13213302023143144tftststftftstf练习解:小结信号的空间表示信号的正交展开信号的空间表示信号的矢量空间表示有4个消息要在AWGN信道传输,如下图所示。(1)确定信号空间的标准基函数集;(2)画出信号星座图;例题例5:4ASK(或4PAM频带信号)4.2AWGN条件下的最佳接收及误码率分析1)信号的矢量表示2)AWGN下的最佳接收(含“统计判决理论”)3)误码率分析复习:信号的矢量表示一、最佳接收机信号解调器相关解调器MF解调器最佳检测器最大后验概率准则最大似然准则最小距离准则无论是数字基带传输还是数字频带传输,都存在着“最佳接收”的问题。最佳接收理论是以接收问题作为研究对象,研究从噪声中如何准确地提取有用信号。对于数字信号而言,“最佳”可描述为使接收信号的差错率最低。假定发送M个信号波形Mmtsm,,2,1,,每个波形的持续时间为T。在Tt0间隔内,接收信号表示为Tttntstrm01、相关解调器接收信号的正交展开相关解调器因为正交函数集tfk不能构建噪声空间,接收信号tntfrtntfntfstrNkkkNkkkNkkmk111其中Nkkktfntntn1,tn表示tn与tn在基函数tfn上投影的对应部分之差。可以证明:tn不包含与判决有关的任何信息。也就是说,判决完全可以根据相关器的输出kr来进行。MF解调器对输入信号的匹配!问题:匹配于基函数,输出信号和噪声功率为多少?可以证明:1)噪声kn是均值为0,方差2/02Nn的不相关(即相互独立)的高斯随机变量。(设信道噪声tn的功率谱密度为2/0N(W/Hz))2)在发送信号tsm的条件下,相关器输出kr也是不相关(即相互独立)的高斯随机变量。mkkmkksnsErE;2/022Nnr3)条件概率密度NkmkkNkmkkmNsrNsrpsrp10201exp1||NkMm,,2,1,,2,1证明:例5-1-1研究一个M元的基带PAM信号集,在该信号集中的基本脉冲形状tg是高度为a,宽度为T的矩形。加性噪声tn是均值为0,功率谱密度为2/0N(W/Hz)。计算基函数tf,相关解调器的输出,msrp|。参见数字通信(第4版)172页解:例5-1-2M=4的双正交信号是由两个正交信号构成的。该信号用来在AWGN信道传输信息。假定噪声均值为0,功率谱密度为2/0N。求该信号集的基函数,匹配滤波解调器的冲激响应,当发送信号为ts1时匹配滤波器解调器的输出21,rrr。M=4的双正交信号(eg.4PSK)参见数字通信(第4版)175页思考:1、需要几个匹配滤波器?2、第一个匹配滤波器输出的信噪比?3、相对于4个输入信号,考虑信道噪声两个匹配滤波器输出的信号为多少?双正交信号一组M个双正交信号集可以由M/2个正交信号与其负的正交信号构成。注意:在任何一对波形之间的相关系数为-1或0,相应的距离为E2或E2,且后者为最小距离。解:2、最佳检测器前面已经证明,对于AWGN信道传输的信号,相关解调器或者匹配滤波器解调器产生的向量Nrrr,,21r包含了接收信号波形中所有的信息。本节将描述基于观测向量r的最佳判决准则。假定在连续信号间隔内的发送信号中不存在记忆。设计一个信号检测器,它根据每个信号间隔中的观测向量Nrrrr,,21对该间隔内的发送信号作出判决,并使正确判决概率最大。最大后验概率准则最大似然准则最小距离准则已经解决的问题:提出问题:根据观察矢量r作出发端发送的是哪个ms的估计,其判决输出用sˆ表示。若输出判决sˆ不等于ms,则判错。如何使平均错判概率最小?如何确定判决准则?根据观察矢量r落入哪个判决区域mR,作出发端发送的是哪个ms的估计,用sˆ表示。若输出判决sˆ不等于ms,则判错。所以错误概率表示为MmRmmMmmmmMmdrsrpsPsssPsPP11|1)()|ˆ()(MmRmmmdrsrpsP1|)(1可见,为了得到最小的错误概率,对于给定的观察矢量r,选择“最大的mmsrpsP|)(所对应的ms”作为判决输出,即mmssrpsPm|)(maxargˆs“最小的错误概率”准则:选择“最大的mmsrpsP|)(所对应的ms”作为判决输出,即mmssrpsPm|)(maxargˆs根据贝叶斯公式,后验概率rsrsrsmmmppPP||“最大的mmsrpsP|)(”即为“最大的rsm|P”,则判决准则为rssm|maxargˆPms即选择最大的后验概率,称该准则为MAP准则。结论最大后验概率(MAP)准则(最小错误概率准则):选择后验概率集合MmP,,2,1|rsm中最大值的信号。等价于“选择mmsrpsP|)(最大值的信号”。最大似然(ML)准则:当先验等概时,即对所有M有MP/1ms,最大后验概率(MAP)准则可等价为寻求使msr|p最大的信号。条件概率msr|p或者它的任意单调函数通常称为似然函数。选择似然函数集合msr|pMm,,2,1中最大值的信号。可以证明,AWGN信道中,“ML准则”等价于“最小距离准则”。最小距离准则:选择在距离上最接近接收信号向量r的信号ms。也就是使得下列欧式距离NkmkksrD12,msr最小的信号msMmsrppNkmkkm,..2,1,1srNkNsrNsrpmkkmkk,...2,1,exp1020MmNsrNspNkmkkNm,..2,1,exp110220rNkmkkmsrNNNp12001ln21lnsrmpsrln最大,等价于“欧式距离NkmkksrD12msr,”最小。最小欧式距离准则的证明思路距离度量:MmssrrDmmNnmnNnmnnNnn,...2,1,222212112ssrrsr,m22'mmDssrsr,m相关度量:mmTmmdttstrC0222ssrsr,m可见,距离NkmkksrD12msr,最小,等价于相关度量msr,C最大。最大相关度量准则如果所有信号具有相同的能量,相关度量可写成r·sm最佳AWGN接收机的实现形式注意:1、要求先验等概;2、与所有发送信号进行相关,而不是基函数的相关。如果所有信号具有相同的能量?总结:后验概率rsm|P似然函数msr|p欧式距离NkmkksrD12,msr相关度量:22mmCssrsr,m1)最佳检测器(最小错误概率):“最大后验概率准则”2)“最大似然准则”只有在先验等概条件下才是“最佳检测器”。不等概时,为了得到最小的错误概率,应该计算“度量mmssrPp|最大”3)“ML准则”在AWGN(无记忆信道)条件下,等价于“最小距离准则”,也可为“最大相关度量准则”。但它不一定是最佳的,同”ML准则“一样,只有在先验等概条件下才是“最佳检测器”。总结:最佳接收机信号解调器相关解调器MF解调器最佳检测器最大后验概率准则最大似然准则最小距离准则例5-1-3研究二进制PAM信号,其中两个可能的信号点为bss21,b表示为每比特能量。先验概率psPpsP1,21。求在发送信号受到AWGN影响时最佳MAP检测器的度量。参见数字通信(第4版)179页ThereceivedsignalZeromeanGaussiannoiseTyrnb2212exp21nbnrsrp2222exp21nbnrsrp解:22112exp2nbnrppsrpPMsr,22222exp211nbnrppsrpPMsr,121,1sPMPMsr,sr,bbbrrppPMPM2exp12221s
本文标题:高级通信原理第4章 信号的分析
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