微积分01-第一章02-数列的极限

微积分第一章函数与极限制作：山东经济学院统计与数学学院x4x2x1x3x5xn1、数列如果按照某一法则，对每个正整数n，对应着一个确定的实数xn，这些实数xn按照下标n从小到大的顺序依次排列得到的一个序列x1,x2,…,xn,…称为一个无穷数列，简称为数列。记为{xn}。其中每一个实数称为数列的项，第n项xn称为该数列的一般项或通项。几何意义：x微积分第一章函数与极限制作：山东经济学院统计与数学学院分类单调增加数列：x1x2…xn…{2n-1}单调减少数列：x1x2…xn…{1/n}单调数列有界数列：存在正数M，使对一切n均有xnM成立。{1/n}无界数列：{2n-1}:1n...n,,1,...,31,211例：...n...,n,1)1(,,31,211:1)1(nnn1通项：nn1)1(通项：微积分第一章函数与极限制作：山东经济学院统计与数学学院1+1/2011-1/3问题：3、数列的极限从极限的数学以及物理背景可知，为了求得实际问题的精确值，需要研究当n无限增大(即n)时，对应的xn是否能无限接近于某个确定的数值？若能，此数值是多少？即要研究数列的发展趋势（运动规律）。1/4...n...,,1,,31,21101/211/3x实例状态运动目标（n）稳定-10-1,1,-1,…,(-1)n,…1x不稳定...n...,n,)1(1,,311,2110稳定x1,2,3,…,n,…稳定微积分第一章函数与极限制作：山东经济学院统计与数学学院以为例，当n无限增大时，无限趋近于0。n1n1问题是：1、无限趋近应如何体现？2、n的无限增大与无限趋近于0的关系又应如何体现？n1我们知道，两个数a与b之间的接近程度可以用它们的差的绝对值|b-a|(即：数轴上点a与点b之间的距离)来度量。|b-a|越小，a与b就越接近。由此可知，上例中无限趋近于0可用来衡量。因为当n足够大时，可以小于任意给定的正数，无限趋近于0。nn101n101n1/401/211/3x微积分第一章函数与极限制作：山东经济学院统计与数学学院例如，给定，欲使，只要n100，即从第101项起，都能使不等式成立。100110011n10011010nnxn同样地，若给定，欲使，只要n100，即从第1001项起，都能使不等式成立。10001100011n100011010nnxn微积分第一章函数与极限制作：山东经济学院统计与数学学院对于任意给定的（误差），当nN时（在时刻N之后），成立。一般地，对于任意给定的误差，随着n的不断增大，在适当的时刻之后，成立。如果用N来记这个时刻，则上述的说法可以定量描述如下：|01|n可引出如下的极限定义。数列的通项常数xnA当n时的极限。n1|01|n微积分第一章函数与极限制作：山东经济学院统计与数学学院设有数列{xn}，若存在常数A，使对于任意给定的0，总存在正整数N，当nN时，恒有|xn-A|成立，则称当n时，数列{xn}以A为极限。记作）（或nAxAxnnnlim几何意义：x1Ax2x3xN+2xN+1xN+3()xnA0，某项之后，xn全落入开区间(A-,A+)之中。若数列{xn}有极限，则称数列{xn}收敛。若数列{xn}无极限，则称数列{xn}发散。A|x|NnNAxnnn时，有当，正整数,0lim微积分第一章函数与极限制作：山东经济学院统计与数学学院(1)、是一个距离指标，用来刻画xn与A的接近程度。它具有两重性：一是任意性，即可任意取，只有这样，|xn-A|才能刻画“xn无限接近于A”。二是相对固定性，一经取定就相对固定下来，依此找N。(2)、正整数N与有关，它是随的给定而确定的，且不唯一。注数列极限的定义有三个要素：正数，正整数N，不等式|xn-A|。(3)、不等式|xn-A|指的是下面的一串不等式：|xN+1-A|，|xN+2-A|，|xN+3-A|，…定义要求它们都成立。至于下面的N个不等式：|x1-A|，|x2-A|，…，|xN-A|并不要求它们一定成立。微积分第一章函数与极限制作：山东经济学院统计与数学学院极限证明数列极限的定义并未直接提供求数列的极限的方法，但通过定义可以证明数列{xn}收敛于A。用数列极限的定义证明某常数A是数列{xn}的极限的过程可以认为是按要求寻找正整数N的过程。对于任意给定的正数，通过|xn-A|，能否都确定出一个正整数N，使得当nN时，总有|xn-A|成立。若都可以确定出这样的正整数N，则成立。Axnnlim微积分第一章函数与极限制作：山东经济学院统计与数学学院恒成立。nn11,11N11limnnn,0证：只要11n即可。因此，取则当nN时,例1：证明数列的极限是1。1nn1111nnn要使微积分第一章函数与极限制作：山东经济学院统计与数学学院,0证：只要||loglogqn即可。因此，取则当nN时,||0nnqq||要使例2：证明当|q|1时。0limnnq当q=0时，显然成立。当q0时，||loglogqN恒成立。qn|0|）（1||0limqqnn等比数列1,q,q2,…,qn,…(|q|1)的极限为0。这是一个很重要的极限，以后常用到它。微积分第一章函数与极限制作：山东经济学院统计与数学学院,0证：只要11n即可。因此，取则当nN时,nn101||要使例3：当0时，证明。01limnn11N恒成立。|n|01)0(01limnn一般地：分子固定，分母无限增大的分数趋于0；分子有界，分母无限增大的分数趋于0。01limnn01lim2nn01limnn微积分第一章函数与极限制作：山东经济学院统计与数学学院补例1：证明。03limnnn,0证：成立。||要使nnnn303，可解得，而由由于32lnln3232323nnnnnnnn，取32lnlnN03limnnn时，就有则当Nnnnnnn32303注若从|xn-a|难以求得N时，就设法将不等式左端适当地放大，然后再求出N。这是在利用定义证明数列极限时常用的技巧。在证明数列的极限时，重要的是能够指出定义中所说的正整数N确实存在，但没有必要去求最小的N。作业：p57习题一(A)11；(B)2。微积分第一章函数与极限制作：山东经济学院统计与数学学院二、子数列例：设{xn}：1,2,3,…,n,…则{x2n}：2,4,6,…,2n,…（取kn=2n）{x2n-1}：1,3,5,…,2n-1,…（取kn=2n-1）都是{xn}的子数列。设{xn}是数列，从{xn}中任意选出无穷多项，按原来的顺序，依次位置为k1,k2,…,kn,…，可得到另一个数列：记为。它称为{xn}的一个子数列。...x...xxnkkk,,,,21}{nkx注：子数列的项是从原数列中抽出的，可能会丢弃某些项不选，所以子数列的第n项只能从原数列的第n项或者以后的各项中选取，即：knn。nkx微积分第一章函数与极限制作：山东经济学院统计与数学学院定理1.1（收敛数列与其子数列的关系）。都有：的任何子数列，则对若AxxxAxnnknknnnlim}{}{lim证：，因为Axnnlim,0,N,时当Nn成立。恒有|Ax|n，时，注意到，当NkkNnNn所以成立。有|Ax|nkAxnknlim即：微积分第一章函数与极限制作：山东经济学院统计与数学学院判断数列敛散性的两个结论：如果数列{xn}的子数列中有一个不收敛，或者有两个收敛但极限不相等，则该数列发散。例：数列,分别取kn=2n-1与kn=2n(n=1,2,…)便可得到两个子数列：0,0,0,…,0,…与1,1,1,…,1,…它们分别收敛于0和1，且01，所以原数列发散。}2)1(1{n数列{xn}收敛的充要条件是奇数项与偶数项分别构成的子数列{x2n-1}与{x2n}均收敛，且极限相等。例：数列0,1/2,0,1/4,0,1/8,…,其奇数项子数列:0,0,0,…收敛于0，偶数项子数列:1/2,1/4,1/8,…也收敛于0，所以该数列收敛，且极限为0。微积分第一章函数与极限制作：山东经济学院统计与数学学院然必不一定定理1.2（收敛数列的有界性）必有界。，则若}{limnnnxAx证：，因为Axnnlim,1,N,时当Nn成立。恒有|Ax|n1||1|||AAAx||AAx||x|nnn从而，取AxxxMN1,...,,,max21则对任意的n，恒有|xn|M，故数列{xn}必有界。有界收敛无界数列必发散。作业：p60习题一（B）3、20。