理论力学精品课程 第十章 刚体的平面运动

第十章刚体的平面运动•刚体平面运动的简化及其分解•平面图形上各点的速度分析•平面图形上各点的加速度分析•运动学综合应用举例11.1刚体平面运动的简化及其分解一、刚体平面运动的定义OOvOABO1O观察上述刚体的运动发现，它们在运动的过程中有一个共同的特征，即：当刚体运动时，刚体内任一点至某一固定平面的距离始终保持不变。具备这样一个特征的刚体的运动称为刚体的平面运动，简称平面运动。11.1刚体平面运动的简化及其分解二、刚体平面运动的简化0A1A2AS如图所示，刚体作平面运动时，刚体上所有与空间某固定平面距离相等的点所构成的平面图形就保持在它自身所在的平面内运动。经分析可得如下结论：刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身所在的平面内运动。11.1刚体平面运动的简化及其分解三、刚体平面运动的运动方程OxyS)(,OOyxOM建立如图的静坐标系，将点称为基点。O当刚体作平面运动时，，和均随时间连续变化，它们均为时间的单值连续函数，即OxOy)()()(321tftfytfxOO上式称为刚体的平面运动方程。分析运动方程可知，平面运动包函了平动和定轴转动这两种基本运动形式，即：平面运动是平动和转动的合成运动。11.1刚体平面运动的简化及其分解四、平面运动分解为平动和转动OxyS)(,OOyxOMxy在平面图形S上任选一点作为基点，并以基点作为坐标原点建立随同基点运动的平动坐标系，如图所示。于是：平面运动（绝对运动）就可以分解为随同基点的平动（牵连运动）和相对基点的转动（相对运动）。OOyxO在进行平面运动的分解时，基点的选择是完全任意的。在解决具体问题时，一般总是选图形上其运动为已知的点作为基点。由于所选的基点不同，分解运动中的平动部分的运动规律不同，即：图形随同基点平动的速度和加速度与基点的位置的选择有关。但图形对于不同的基点转动的角速度和角加速度都是一样的。下面予以说明：11.1刚体平面运动的简化及其分解ABABAB如图所示，由图可知：而tt0limtt0lim所以类似地即：在任一瞬时，图形绕其平面内任何点转动的角速度和角加速度都相同。亦即：角速度和角加速度与基点的位置的选择无关。于是可以直接称为平面运动的角速度和角加速度11.2平面图形上各点的速度分析一、基点法（速度合成法）OOvOvMvOMvMxyOxy如图，在图形内任取一点作为基点，已知该点的速度为及图形的角速度为，则图形上任一点M的牵连速度为OOvOevv相对运动为圆周运动，相对速度的大小为OMvvOMr方向如图。M点的速度即为绝对速度，即。MvaMvv于是根据点的速度合成定理可将M点的速度写成reavvvOMOMvvv即：平面图形内任意一点的速度等于基点的速度与该点相对于基点转动的速度的矢量和。这就是平面运动的速度合成法，又称基点法。11.2平面图形上各点的速度分析二、速度投影法将速度矢量式投影到上，则有OMOMvvvOMMOOMOMvv即：在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。这就是速度投影定理。三、速度瞬心法OOvOvCOCv如图所示，在垂直于的半直线上必有一点且仅有一点，它的相对速度和牵连速度大小相等而方向相反，因而绝对速度等于零。OvC点的位置满足下列关系COOCvOCv或OvOC11.2平面图形上各点的速度分析即：如平面图形的角速度不等于零，则该瞬时图形上总有唯一的速度为零的一点。这个点称为图形的瞬时速度中心，简称瞬心。如取瞬心作为基点，则平面图形上任一点M的速度大小为CMCvvMCM必须指出：瞬心可以在平面图形内，也可在平面图形外，它的位置不是固定的。即：平面图形在不同的瞬时具有不同的速度瞬心。由此可见，刚体的平面运动可以认为是绕一系列的瞬心作瞬时转动。如果求出图形的角速度和确定出数心的位置，就可以求出图形上所有各点在此瞬时的速度。这种方法称为瞬时速度中心法，简称瞬心法。11.2平面图形上各点的速度分析下面介绍确定瞬心的方法：ABAvBvAAvBBvCCABAvBvCABAvBvABAvBvC11.2平面图形上各点的速度分析30ABAvM例1椭圆规机构如图。已知连杆AB的长度，滑块A的速度，求连杆与水平方向夹角为时，滑块B和连杆中点M的速度。cml20scmvA1030解：（1）基点法AB作平面运动，以A为基点，则B点的速度为BAABvvvB点的速度合成矢量图如图所示。建立如图的投影坐标，由速度合成矢量式，将各矢量投影到轴上得AvBvBAv30sin0BAAvv30cosBABvv于是scmctgvvAB31030scmvvABA2030sinsradlvBA1方向如图所示。11.2平面图形上各点的速度分析以A为基点，则M点的速度为30ABAvMMAAMvvvM点的速度合成矢量图如图所示。建立如图的投影坐标，由速度合成矢量式，将各矢量投影到轴上得AvMAvMv30sincosMAAMvvv30cossinMAMvv解之得scmvM103tg60（2）速度投影法Bv由速度投影定理财得ABBABAvv60cos30cosBAvv解得scmvB310方向如图。11.2平面图形上各点的速度分析（3）瞬心法30ABAvMBvAB作平面运动，瞬心在点。CCsradlvACvAA130sinscmlBCvB31030cosscmMCvM10方向如图。Mv11.2平面图形上各点的速度分析ABOCDRrOv例2如图所示，一个带有凸缘的轮子沿直线轨道纯滚动。已知轮心速度为，轮凸缘半径为R，轮半径为r，求其上A、B、C、D各点的速度。Ov解：（1）基点法轮子作平面运动，以轮心O为基点，则A、B、C、D各点的速度为DOODCOOCBOOBAOOAvvvvvvvvvvvv速度合成矢量图如图所示。ABOCDOvOvOvOvOvDOvCOvBOvAOv11.2平面图形上各点的速度分析下面先求平面图形的角速度。OOvrOvsMMO如图所示。rS由于此式对任意时间都成立，故两边对时间求导有rdtdrdtdsvO由此可得rvO再对时间求导有rtddrtdsdaO2222由此可得raO11.2平面图形上各点的速度分析ABOCDOvOvOvOvOvDOvCOvBOvAOv取如图的水平投影轴，由以上的速度合成矢量式，将各矢量投影到轴上得)1(rRvrvRvRvvvvOOOOAOOAOOOOBOOBvrvrvrvvvv20rvrvrvvvvOOOCOOC)1(rRvrvRvRvvvvOOOODOOD11.2平面图形上各点的速度分析（2）瞬心法轮子作平面运动，其瞬心和C点重合，如图所示。CABOCDOvCDvBvAv则rvO)1()(rRvrvrRACvOOAOOBvrvrBCv22)1()(rRvrvrRDCvOOD方向如图所示。11.2平面图形上各点的速度分析例3曲柄肘杆式压床如图。已知曲柄OA长r以匀角速度转动，AB=BC=BD=l，当曲柄与水平线成角时，连杆AB处于水平位置，而肘杆DB与铅垂线也成角。试求图示位置时，杆AB、BC的角速度以及冲头C的速度。3030解：连杆AB作平面运动，瞬心在点，则1COABCD3030AvBv1CABlrABrACvAAB33230cos1rlrlABBCvABABB33332230sin1方向如图所示。11.2平面图形上各点的速度分析OABCD3030AvBv1CAB连杆BC作平面运动，瞬心在点，则2CCv2CBClrBCvBBC332332rCCvBCC方向如图所示。11.2平面图形上各点的速度分析ABC1OO例4图示机构，已知曲柄OA的角速度为，，角，求滑块C的速度。rCOBOABOA1160解：AB和BC作平面运动，其瞬心分别为和点，则1C2CAvBv1CABCv2CrOAvArrACvAAB1rBCvABB1BC3132rrBCvBBCrCCvBCC332方向如图所示。11.2平面图形上各点的速度分析AvABDO例5直杆AB与圆柱O相切于D点，杆的A端以匀速向前滑动，圆柱半径。圆柱与地面、圆柱与直杆之间均无滑动，如图，求时圆柱的角速度。scmvA60cmr10601C解一：圆柱作平面运动，其瞬心在点，设其角速度为。1CDvrDCvD31AB圆柱作平面运动，其瞬心在点，则2C2CAB22ACvDCvADAB即AADvvrrv3333亦即Avr333故sradrvA210360311.2平面图形上各点的速度分析AvABDOOvOvDOv解二：由于圆柱作纯滚动，所以O点的速度为rvO以O为基点，则D点的速度为DOODvvv根据速度投影定理有rvDODOOAvvvcoscosrr212160则srad211.3平面图形上各点的加速度分析OOaOaMOMaOManOMaMa如图所示。由牵连运动为平动的加速度合成定理，有reaaaa由于牵连运动为平动，所以，于是有OeaaOMOMaaa而nOMOMOMaaa其中OMaOM2OManOM故nOMOMOMaaaa即：平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与相对基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这就是平面运动的加速度合成法，又称基点法。11.3平面图形上各点的加速度分析OOaOvC例6车轮在地面上作纯滚动，已知轮心O在图示瞬时的速度为，加速度为，车轮半径为r，如图。试求轮缘与地面接触点C的加速度。OvOa解：车轮作平面运动，取O点为基点，则C点的加速度为nCOCOOCaaaaOaCOanCOa由于rvOraO于是可得OOCOararrarvrvrraOOnCO222)(取如图的投影轴，由以上的加速度合成矢量式，将各矢量投影到投影轴上得0OOCOOCaaaaarvaaOnCOC2于是rvaaaOCCC222方向由C点指向O点。11.3平面图形上各点的加速度分析例7图示曲柄连杆机构中，已知曲柄OA长0.2m，连杆AB长1m，OA以匀角速度绕O轴转动。求图示位置滑块B的加速度和AB杆的角加速度。srad10解：AB作平面运动，瞬心在点，则CAvBvCsmOAvA2sradACvAAB2转向如图。ABAB作平面运动，以A点为基点，则B点的加速度为nBABAABaaaaOAB4545OAB4545AaAaBaBAanBAa其中2220smOAaanAA11.3平面图形上各点的加速度分析224smABaABnBAOAB4545