理论力学课件-虚功原理

虚功原理~华航土木工程专业西霞院反调节水库教学要求：•教学目标：•对理想约束和虚位移有清晰的认识，并会计算虚位移。•能正确地运用虚位移原理求解物体系的平衡问题。•对广义力和广义坐标形式的虚位移有初步的理解，并会计算广义力。•本节重点：•虚位移、理想约束的概念，应用虚位移原理求解物体系的平衡问题。•本节难点：•广义力的概念，广义坐标形式的虚位移原理。一.问题的提出二.基本概念1.虚位移1)虚位移定义2)虚位移与约束关系3)虚位移与实位移区别与联系4)举例2.理想约束1)理想约束定义2)常见的理想约束3.虚功三.虚功原理1.虚功原理表述2.虚功原理证明3.广义坐标中的虚功原理4.虚功原理的应用本节主要内容一.问题的提出静力学问题是否可以借助动力学的分析方法来求解呢？———微小角度btgsatgs21平衡条件：021bFaF（a）杠杆由于在新的位置系统仍然平衡02211SFSF条件（a）和条件（b）是等价的（b）杠杆的平衡条件可用作用力在平衡附近的微小位移中所作的功来建立。由此可见，物体的平衡条件，不仅可以通过外力矢量和为0和外力矩矢量和为0判定，还可以通过位移、做功概念来表述，即判断一个状态是否平衡可以通过在这个状态附近一个可能发生的过程中外力的功的特征来判定。平衡条件：0mgFsin（a）设想平衡附近的微小位移，再次平衡0smgsFsin（b）请问，对于一般的非自由质点系是否能写出类似的平衡条件呢？答案是肯定的。1.虚位移某瞬时，质点系在约束所允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移。受固定曲面S约束的质点M该瞬时虚位移rT平面----过M点的切面切面上过M点的任何无限小位移二.基本概念1)虚位移定义rzzfyyfxxfzyxf),,(图中质点M有一虚位移，其坐标由（x,y,z）变为（x+δx，y+δy，z+δz）有虚位移后，质点的坐标仍满足约束方程f（x+δx，y+δy，z+δz）=0将上式泰勒展开，舍去高于1阶的高阶微量后f（x+δx，y+δy，z+δz）=0zzfyyfxxf2)虚位移与约束关系用n表示曲面f（x，y，z）=0在（x,y,z）点处的单位法向矢量0zzfyyfxxfrnkzjyixrkzfjyfixfCn)(虚位移如何反映了约束的几何性质：虚位移r垂直于曲面上该点处的法线，也就是说虚位移r必在通过该点的曲面的切平面上。1）真实位移：)()(trdttrrdiii其中必须同时满足运动微分方程及初始条件，和约束方程。ir0),,(iirrtf2）可能位移：)()(trdttrriii其中只须满足约束方程，而不必满足运动定律及初始条件。ir0),,(iirrtf3)虚位移与实位移区别与联系由定义知：真实位移是可能位移之一。真实位移是唯一的，可能位移有无穷多个。iPirdiFiPiF1ir2ir3ir俯视图俯视图lttfrrfNiii,...,2,1,013）约束对可能位移（真实位移）的限制：设质系受到几何约束和微分约束lrtfi,...,2,1,0),(savrtaiiNii,...,2,1,0),(1几何约束对可能位移的限制方程为微分约束对可能位移的限制方程为starrtaiiNii,...,2,1,0),(14）虚位移：满足下面齐次线性方程的的集合。irlrrfNiii,...,2,1,01srrtaiiNii,...,2,1,0),(1一种等价定义：虚位移是任何两个可能位移之差。虚位移与实位移区别与联系总结无限小的位移无限小或有限位移有多种不同方向有确定的方向仅与约束有关与约束、所受力及运动情况有关虚位移实位移xrdxrd4)举例沿或方向的任何无限小位移1AA2AA该瞬时摆锤虚位移r举例1:单摆rrd真实位移不仅与约束有关，还与运动、受力有关举例2:斜面在半径为R的球面上质点运动，r-R=0若取直角坐标系，则写为x2+y2+z2-R2=0•若约束球面的半径随时间匀速增加，即RR+vtvtRR0则约束方程为：0)(2222vtRzyx举例3:汽球稳定几何约束条件下，无限小的实位移是虚位移之一举例4:滑块2.理想约束约束反力在质点系的任何虚位移中所作元功之和等于零,这种约束称为理想约束.理想约束条件0iNirF质点的合约束反力NiFimir质点的虚位移1)定义2)常见的理想约束支持刚体的固定点刚性杆不可伸长的绳光滑面（曲线）约束光滑铰链APxyAOBM光滑面约束AAPAFAPACCFCAAPAFAPA固定平面固定曲面齿轮的齿面固定铰链支座A圆柱铰链ABC•蝶形铰链约束光滑铰链球铰支座约束3.虚功质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功称为虚功rFW定义1.虚位移原理：对于具有理想约束的质点系，平衡的充分必要条件是作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作虚功的和等于零。如何求虚位移之间的关系：1.根据几何关系或虚速度之间的关系2.选择一自变量，对各点坐标进行变分0iirF三.虚功原理(虚位移原理)1.虚位移原理：0000iNiiiNiiiNiiNiirFrFrFFrFFFFi)()(理想约束0iNirF则平衡的质点系0iirF必要性：2.证明3.广义坐标中的虚功原理•设n个质点的完整力学系受到k个理想约束，变换方程为：)3)(,,2,1();,(,2,1knsnitqqqrrsii),,2,1(1niqqrrsii将其代入虚功原理（1.6.3）式0)()(11)(11)(1)(qqrFqqrFrFWsiniainisiaiiniai引入Qa代表各个广义虚位移qa的系数，即令•则以广义坐标表示的虚功原理可表为：)()()(1)(1)(qzFqyFqxFqrFQiaziiayiiniaxiiniai01qQWs对于完整力学系，s个广义虚位移qa都是独立的，因而虚功原理可表为：完整理想约束力学系平衡的充要条件是：所有作用在系统上的广义力均为0，即：0Q),,2,1(s广义力的分量广义力的分量))(qrFQin1iai)()()(1)(1)(qzFqyFqxFqrFQiaziiayiiniaxiiniai可以看出,广义力即不从属于某个质点,也不直接对应于某个主动力的分量,而是描述整个体系的物理量.)()()()()(qzFqFqFqrFQiaziiaiin1iaiin1iai柱坐标3.虚功原理实际应用三峡大坝雄姿自动送料液压冲床压力机水稻的加工虚功原理的应用dtdtBBAArvrv,，虚速度tgvvrrABABtgFFBA例1.椭圆规机构，连杆长为，各处摩擦不计，在图示位置平衡。求主动力和之间的关系。lAFBF如何求虚位移间的关系虚功方程0BBAArFrF解：研究整个机构的平衡给系统一虚位移例2:如图所示,长为2l，质量为m的匀质杆斜靠在光滑的，半径为R（lR2l）的碗内,求平衡时满足的方程式0lNl2R2NDCNCBN0N2N02NNmgABABBAABsin)cos(sincossincosBAODC矢量力学解法021R4l2coscos解得虚功原理解法BAODC0lR2R2mgQ0lR2R2mgwlR2xxmgrgmw2CCC]cos)cos(sin[]cos)cos(sinsin[sin)cos(例3:长为2l,质量为m的匀质杆AB，一端置于车厢的粗糙地面上(摩擦系数为μ)，另一端斜靠在光滑的竖直壁上，设车以加速度a向前行驶，求杆的平衡条件。AxyBaθCCBBAAACBBAAxmaymgxNxfyNramgmrNrfNw将变换方程代入sincoscoslyylxxl2xxyyxxACACABAAAA0mgNywQ0fNmaxwQ0N2mamgwQAAyyBAxxBAAAAsinsincos)cot(),cot(agm21maNfmgNagm21NBAB联立解得如果不滑)(cot;cot,ga21gaNf0NAB于是得到平衡条件能否用虚位移原理求约束反力？结束语：虚位移原理与达朗伯原理相结合，又为非自由质点系动力学问题建立了普遍方程，是分析力学的基础。几何静力学平衡条件只是刚体平衡的充分必要条件，虚位移原理是质点系平衡的充分必要条件。用几何静力学平衡条件求一些机构的平衡问题极不方便，虚位移原理是求解静力平衡问题有效而普遍的方法。