信息分析方法__市场时间序列分析预测法

第九章市场时间序列分析预测法(三)——市场随机时间序列预测法在第七、八章我们讨论的是市场确定性时间序列分析预测法，用一个确定性的模型去拟合所研究的市场现象。实际上，人们所遇到的市场变量时间序列，就其本质而言，绝大多数并非是确定性的而是由随机过程产生的。时间序列中，单个数值的出现具有不确定性，但整个时间序列却存在一定的统计规律性。把时间序列作为随机变量序列加以处理，建立随机时序模型进行预测的方法，称之为随机时间序列预测法。在市场预测中，应用较多的随机时间序列预测法主要有灰色预测法、博克斯—詹金斯法和马尔柯夫法三种。下面分别予以介绍。第一节灰色预测法灰色预测法是我国学者邓聚龙教授于20世纪80年代初提出的一种新的预测方法。它是以灰色系统理论为基础，通过建立灰色动态模型(GreyDynamicModel简记为GM)对现象未来进行预测的。由于这种方法具有所需要的数据少、预测精度高等优点，目前正被广泛用于市场预测，并已取得了良好的预测效果。灰色预测法是以灰色系统理论为基础的。灰色系统理论认为，一切随机变量都是在一定范围内、一定时间上的灰色量①一切随机过程都是灰色过程。表面上看，灰色量的变化是乱而无序的，但实际上，其背后却潜藏着一定的规律性。只要对灰色量作累加生成处理，就可以弱化其变动的随机性，显示出其固有的变动规律性，并且这种规律性可以利用微分方程予以揭示和反映。灰色预测法就是利用累加生成的数据而非原始序列数据，建立一个微分方程形式的时间连续函数模型GM(n,h)(n表示微分方程的阶数，h表示变量的个数)，并据此作出预测。在市场预测中，最常用的为一阶单变量灰色动态模型，即GM(1,1)模型。本节主要介绍的就是GM(1,1)模型的建立、检验和预测方法。一、GM(1,1)模型的建立GM(1,1)模型的微分方程形式为11XdtdX(9-1)上式中，1X为一次累加生成数；t为时序；、μ为待估模型参数。GM(1,1)模型的建立，一般经过如下步骤：第一步，选择一原始时间序列X(0)X(0)={X(0)(1),X(0)(2),…,X(0)(t),…,X(0)(N)}向量中元素X(0)(t)表示序列第t期(项)原始数据，右上角括号中的数字0表示原始数据。一般要求数据个数N≥4。第二步，对原始序列作一次累加生成，得序列X(1)X(1)={X(1)(1),X(1)(2),…,X(1)(t),…,X(1)(N)}上向量中元素X(1)(t)表示序列第t期一次累加生成数据，右上角括号中数字1表示一次累加生成，且①在系统论与控制论中，常用颜色来形容信息的完备程度。一般情况下，“白色”指信息完全确知，“黑色”指信息一无所知，“灰色”则介于前两者之间，指信息不完备或不确知。一个信息不完备的数，称为灰数；一个信息不完备的系统，称为灰色系统。在灰色预测中，把所使用的原始数据看作是灰数。X(1)(t)=tkk10)(X(9-2)第三步，构造累加矩阵B与常数项向量YN1)1(211)32(211)21(21111111NXNXXXXXBTNNXXXY000,,3,2第四步，用普通最小平方法估计微分方程模型参数，则NTTYBBB1(9-3)第五步，将求出的参数代入(9-1)式，且令X(1)(0)=X(0)(1),将微分方程转化为如下时间函数。teXtX11ˆ01(9-4)(9-4)式是根据一次累加生成序列建立的预测模型，不能直接用于预测，尚须作逆累加生成处理，予以还原。第六步，对tX1ˆ进行还原。用相邻两期的tX1ˆ相减，即tXtXtX110ˆ1ˆ1ˆ(9-5)(9-5)式为最终所要求的GM(1，1)预测模型，经检验合格后，方可用于预测。在利用(9-5)式求原始序列的追溯预测值时，一般令1ˆ0X=10X,序列第2期及以后的追溯预测值按(9-5)递推计算。下面以示例说明GM(1，1)的建模过程。【例1】某地区1999～2005年农村居民消费水平数据如表9-1栏所示，试建立GM(1,1)模型并预测其2006年的消费水平。表9-1某地区农村居民消费水平数据表单位：元年份1999200020012002200320042005时序t1234567消费水平X(0)(1)6837629731251166919452275解：1.对原始数据作一次累加生成X(1)(1)=X(0)(1)=683X(1)(2)=X(0)(1)+X(0)(2)=683+762=1445X(1)(3)=X(0)(1)+X(0)(2)+X(0)(3)=X(1)(2)+X(0)(3)=1445+973=2418X(1)(4)=X(0)(1)+X(0)(2)+X(0)(3)+X(0)(4)=X(1)(3)+X(0)(4)=2418+1251=3669同理X(1)(5)=5338,X(1)(6)=7283,X(1)(7)=9558则X(1)={683,1445,2418,3669,5338,7283,9558}2.构造累加矩阵B和常数项向量YN1)76(211)65(211)54(211)43(211)32(211)21(21111111111111XXXXXXXXXXXXB=15.842015.631015.450315.304315.1931110647,6,5,4,3,3,20000000XXXXXXXYN3.利用普通最小平方法求解参数BTB=1111115.84205.63105.45035.30435.19311064×15.842015.631015.450315.304315.193111064=65.252735.252733.1451344231TBB=165.252735.252733.145134423=3.1451344235.252735.252736)5.25273(63.14513442312=625426457.060001089108.060001089108.060000000258.0NTYB=1111115.84205.63105.45035.30435.193110642275194516691251973762=88755.45444437则参数α、μ的估计值为NTTYBBB1=625426457.060001089108.060001089108.060000000258.088755.45444437=2668.601208416.0⒋代入(9-1)式，得微分方程1120841.0XdtdX=601.2607⒌代入(9-4)式，得时间函数208416.02668.601208416.02668.6016831ˆ208416.01tetX=3567.9374e0.208416t-2884.93746.6.对上式进行还原，得预测模型1ˆ0tX=3567.9374(e0.208416t-e0.208416(t-1))这就是该地区农村居民消费水平GM(1,1)预测模型。二、GM(1，1)模型的检验GM(1,1)模型建立以后，还不能直接用于预测，尚必须对其拟合精度进行检验。只有当拟合精度符合一定要求以后，才能用于预测。GM(1,1)模型精度检验的方法有三种：残差检验法、关联度检验法和后验差检验法。实践中可根据具体情况加以选用。(一)残差检验法残差检验法就是利用建立的GM(1，1)预测模型，求出原始序列各期的拟合值，进而求出序列各期的绝对预测误差或者相对预测误差，看其是否满足所要求的允许误差范围。若落在允许的误差范围之内，那么所建立的GM(1，1)模型，可用于预测，否则不能用于预测。tXtXte00ˆ(9-6)tXtetq0×100%(9-7)上式中：te、q(t)分别表示序列第t期的绝对预测误差和相对预测误差；tX0、tX0ˆ分别为序列第t期的实际观察值和追溯预测值。在实际应用中，不仅要看序列各期的te、q(t)是否落在允许误差范围之内，要重要的是关注近期的te、q(t)数值大小。一般情况下，尽管有少数远期的te、q(t)落在允许误差范围之外，但如果近期的te、q(t)的数值很小且符合要求，所建立的GM(1,1)模型亦可用于预测。在上例中，利用(9-5)、(9-6)、(9-7)式计算的序列各期的追溯预测值tX0ˆ、绝对预测误差te相对预测误差q(t)结果如下：2ˆ0X=826.76e(2)=-64.78q(2)=-8.5%3ˆ0X=1018.37e(3)=-45.37q(3)=-4.66%4ˆ0X=1254.35e(4)=-3.35q(4)=-0.27%5ˆ0X=1545.02e(5)=123.98q(5)=7.43%6ˆ0X=1903.03e(6)=41.97q(6)=2.16%7ˆ0X=2344.02e(7)=-69.02q(7)=-3.03%如果认为近期相对预测误差落在±5%以内即可满足要求的话，那么上述建立的GM(1,1)预测模型就可以用以预测。(二)关联度检验法在建立GM(1,1)预测模型时，可以使用原始序列的全部数据，也可以使用原始序列部分数据，那么根据哪些数据建立的模型优呢?这可以根据所建立的每个模型产生的序列拟合值与序列原始数据关联程度的大小作出判断，关联程度大的模型为优。具体步骤是：第一步，利用建立的GM(1,1)模型计算出序列各期的追溯预测值tX0ˆ与对应原始数据tX0离差的绝对值t。t=｜tX0-tX0ˆ｜(t=1,2,…,N)(9-8)第二步，在{t}序列中，找出最大值max。第三步，计算序列各时期的关联系数L(t)L(t)=maxmaxt(t=1,2,3,…,N)(9-9)上式中：L(t)表示第t时期的关联系数，且1/2≤L(t)≤1。第四步，计算GM(1,1)模型的关联度NttLN21(9-10)第五步，比较不同GM(1，1)模型的关联度，大者为优，并且根据经验，当较优模型的关联度大于0.7时，就可利用此模型进行预测。在上例中，利用1999～2005年数据建立的GM(1,1)模型，关联度的计算如下：1=｜10X-1ˆ0X｜=｜683-683｜=02=｜20X-2ˆ0X｜=｜762-826.78｜=64.78t=｜30X-3ˆ0X｜=｜973-1018.37｜=45.37t=｜40X-4ˆ0X｜=｜1251-1254.35｜=3.35t=｜50X-5ˆ0X｜=｜1669-1545.02｜=123.98t=｜60X-6ˆ0X｜=｜1945-1903.03｜=41.97t=｜70X-7ˆ0X｜=｜2275-2344.02｜=69.02从Δ(t)中找