第04讲-巧填算符

2011春季班三年级超常班                                             学而思  侯晓琳  第四讲 巧填算符 巧填算符的题目主要是为了培养孩子们学习兴趣以及数感的，本讲主要涉及到的方法有分组法，凑数法，逆推法，这些方法之间没有明确的界限，很多题目是要综合灵活运用这些方法的。 另外，做此类题目时一定要注意审题。看清题目要求，如有的题目不允许用括号，有的题目限制符号的种类和数目，有的题目说合适的地方意味着可以空着不填等等。  分组法：适用于要求只填加减号的题目。因分组法不需太多的尝试，只需简单计算即可，因此，掌握分组法后，遇到题目可先判断一下能否用分组法来做。  只填加减号，使等式成立1  2  3  4  5  6  7  8=2 分析与答：最终填加号数字和为A，最终填减号的数字和为B，则A+B=1+2+3+4+5+6+7+8=36，A‐B=2，为和差问题A=（36+2）÷2=19,B=(36‐2) ÷2=17，4+6+7=17，不妨在4,6,7前面填上减号。此题的一个解是1+2+3‐4+5‐6‐7+8=2，另外验算的时候有可能会出现负数，如本例，这样可以把填减号的数字尽量靠后，3+6+8=17，1+2‐3+4+5‐6+7‐8=2 本题还有其他解法，可以自己凑凑。  逆推法：逆推法起来头绪繁多，因此适用于数字比较少，结果比较小的题目。  超常123班学案一：在下面合适的地方填上＋、－、×、÷，使等式成立。 12  3  4  5  6  7  8=1 分析与答：注意审题，此题不允许用（）及除号。 倒着看，8前不能填+，×，只有填－， 那么1  2  3  4  5  6  7凑9,7前不能填×，只有＋、－，不妨试+， 那么1  2  3  4  5  6凑2，6前不能填+，×，只有填－， 那么1  2  3  4  5凑8，5前不能填×，只有＋、－，不妨试+， 那么1  2  3  4凑3，1+2×3‐4 这样就得到了本题的一个解1+2×3‐4+5‐6+7‐8=1  【附：思考一下本题能否只填加减号用分组法来做呢？显然不能，假设只填加减，设加号组为A，减号组为B，A+B=36，A‐B=1，此时A、B不是整数，所以不能；那么能否变化一下就可以用分组法了呢？ 思考一下不能用分组法的本质原因，由于 奇数+奇数=偶数，奇数‐奇数=偶数； 偶数+偶数=偶数，偶数‐偶数=偶数； 奇数+偶数=奇数，奇数‐偶数（偶数‐奇数）=奇数； 即两个整数的和与差奇偶性相同。1+2+3+4+5+6+7+8和为偶，差也为偶时才可能用分组法，现在差为奇，那么如果把和也改成奇数，就可能用分组法来解决了。怎么改和呢？消灭一个奇数！刚才逆推得到的解1+2×3‐4+5‐6+7‐8相当于消灭了一个奇数3，把2+3变成2×3，这2011春季班三年级超常班                                             学而思  侯晓琳  时，和为1+2×3+4+5+6+7+8=37，差为1，A+B=37，A‐B=1，A=19，B=18，即填减号的项和为18,4、6、8就是一种填法，即得到刚才的答案1+2×3‐4+5‐6+7‐8=1。利用这个想法，可以把1×2，3×4,4×5,5×6等看做一个数。可以再找到很多方法。消灭奇数的另一个思路是把某两个数字连起来看，如把1  2  看做12，合成一个数12  3  4  5  6  7  8=1  和为12+3+4+5+6+7+8=45，差为1加号组为23，减号组为22,如22=8+7+4+3，又可以得到12‐3‐4+5+6‐7‐8=1。本思路体会一下即可，用这种思路可以很快找出很多方法。】  凑数法：此方法是先选一个与结果比较接近的数，然后再对剩下的数字进行适当的增加或减少，使算式成立。适用于数字较多，结果较大的题目。  例3 ：在八个8之间的适当地方，填上运算符号＋、－、×、÷，使算式成立。           8  8  8  8  8  8  8  8=1000 分析与答：先找接近1000的数888，还差1000‐888=112，再找88，还差112‐88=24，此时用去5个8，还剩3个8+8+8=24，所以888+88+8+8+8=1000 注：运算符号并没有要求必须在两个数字之间填，因此可以把相邻几个数字看成一个数。  常见的凑数技巧： （1）多个相同数字凑零。如： 8‐8=0, （8‐8）×8=0 （8‐8）×8×8=0 …… （2）偶数个相同数字凑一。如： 8÷8=1 8÷8×8÷8=1 8÷8×8÷8×8÷8=1 …… （3）N+1个相同数字凑N。如： 8÷8=1 （8+8）÷8=2 （8+8+8）÷8=3 （8+8+8+）÷8=4 …… （4）多个相同数字凑1，11,111,1111……如： 8÷8=1； 88÷8=11 888÷8=111 8888÷8=1111 …… （5） 多个相同数字凑10,100,1000……如： 88÷8‐8÷8=（88‐8）÷8=10 888÷8‐88÷8=（888‐88）÷8=100 2011春季班三年级超常班                                             学而思  侯晓琳  8888÷8‐888÷8=（8888‐888）÷8=1000 …… （6） 分配律的使用： 除法对被除数的分配律：以上第五条已经体现出来了，比如，想凑出10，如果有5个8，那么就用88÷8‐8÷8=10；如果只给4个8，那么（88‐8）÷8=10 （附：除法对被除数的分配律本质上是乘法分配律，因为除以一个数 等于乘以这个数的倒数，而除法对除数没有分配律）  希望从下面的例题当中认真体会以上技巧的妙用。  下面先看几个小例子 （1）6  6  6  6  6 =19         6+ 6+ 6+ 6÷6 =19（凑一） （2）7  7  7  7  7 =20         7+ 7+ 7+ 7÷7 =20（凑一） （3） 9  9  9  9  9 =21    （9 9+ 9）÷9 9 =21（21=11+1+9凑11,1及分配律） （4）9  9  9  9  9 =22        （9 9 +9 9 ）÷9 =22（凑11及分配律）  例7： 在下面算式中，填上＋、－、×、÷和（），分别填出三个不同的算式，使结果成立。    （1）4  4  4  4=1                        4  4  4  4=1                            4  4  4  4=1                     分析与答：属于技巧2偶数个相同数字凑一： 法一：（1×1）4×4÷4÷4=1改变乘除号的顺序可得到多个，算同一类。 法二：（0+1）4‐4+4÷4=1改变顺序也可得到多个，算同一类。 法三：（相同部分做除法）44÷44=1;（4+4）÷（4+4）=1; 附相同部分做除法可得1，做减法可得0。0和1很常用。  例3 改编：在八个8之间的适当地方，填上运算符号＋、－、×、÷，（），使算式成立。           8  8  8  8  8  8  8  8=1000 方法一：可以直接用技巧,5，（8888‐888）÷8=1000 方法二：希望孩子们尽早把2的N次方的得数背下来，好多题数感会启发出更多更好的思路，125×8=1000,125=128‐3,128=72=8×8×2，而题中没有2，可用分配律相当于8×8+8×8=（8+8）×8=128，而3也很好凑出，利用技巧3，（8+8+8）÷8=3。考虑到8的个数，这里的128只能用（8+8）×8来凑。 【（8+8）×8+(8+8+8) ÷8】×8=1000。  补充小练： （1）8  8  8  8  8  8  8  8=1999（8个8） 1999=1111+888,1111=8888÷8，所以8888÷8+888=1999  （2）8  8  8  8  8  8  8  8  8  8  8  8  8  8  8=1986（15个8） 2011春季班三年级超常班                                             学而思  侯晓琳   凑数法1986=1111‐875=1111+888‐13，1111=8888÷8，现在的任务时7个8凑13,13=11+1+1=88÷8+8÷8+8÷8,13是被减去的，因此前面应填减号。8888÷8+888‐88÷8‐8÷8‐8÷8=1986  （3）8  8  8  8  8  8  8  8  8=1998（9个8） 1998=111×18,111=888÷8（技巧4），还剩5个8凑18=10+8=（88‐8）÷8+8（技巧5） 8 8 8÷8 ×【（8 8 ‐8）÷8+8】=1998   添括号 例5 在下面算式中的合适地方，填上（），［］，使等式成立。 （1）1+2×3+4×5+6×7+8×9=303 （2）1+2×3+4×5+6×7+8×9=1395 （3）1+2×3+4×5+6×7+8×9=4455 分析与答：本题的要求是添括号，注意括号的作用是改变运算顺序，使括号中的部分先做，而在四则运算中规定“先乘除，后加减”，要改变这一顺序，往往把括号加在有加减运算的部分。 不加括号时，左边的得数为141，所以三个问的目标都是增大得数，要想让得数增大，由于本题只涉及加法和乘法，对于本题而言，相当于要让加数增大，或乘数增大。 （1）考虑到141到303的变化不像第2、3两问那么大，可以先试着考虑把（）填在前面较小数字的区域。303‐8×9=233，而233刚好是7的33倍，又1+2×3+4×5+6=33，所以第一问较易得出（1+2×3+4×5+6）×7+8×9=303 （2）141到1395的变化是近10倍的递增，而1395又是9的整数倍（被9整除的数的特点是看各个位的数字和，各个位数字和1+3+9+5=18是9的倍数，原数1395就也是9的倍数）可以考虑将×9前面整体加括号，那么我们的任务是要在1+2×3+4×5+6×7+8上添括号，使其凑出1395÷9=155，可以用尝试和倒推结合6×7+8=50，如果1+2×3+4×5能凑出105就好了，而105又是5的21倍，1+2×3+4能凑出21么？21=3×7=（1+2）×（3+4） 最终【（1+2）×（3+4）×5+6×7+8】×9=1395 （3）类似第2问，4455是9的4455÷9=495倍，可以考虑将×9前面整体加括号，那么我们的任务是要在1+2×3+4×5+6×7+8上添括号，使其凑出495,495=11×3×3×5=33×15，（1+2）×（3+4）×5+6=33,7+8=15，最终【（1+2×3+4×5+6）×（7+8）】×9=4455 附：添括号使计算结果变大的常用方法：一般地， （1）乘法中乘数变大； （2）加法中加数变大；  （3）减法中被减数变大，减数变小； （4）除法中除数变小，被除数变小。 添括号使计算结果变小反过来即可。 前三点很好理解，最后一点关于 除数变小：24÷6‐2  →  24÷（6‐2） 被除数变小：(32+4) ÷2  →  32+4÷2 2011春季班三年级超常班                                             学而思  侯晓琳  在除数大于一的情况下，被除数变大，结果变小；被除数变小，结果增大。 做题时还要具体情况具体分析，想好填括号后结果的变化。 有些题年级再高一些之后结合数论的知识分析会事半功倍。  24点 24点的游戏规则：一副牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24。每张牌必须用一次且只能用一次。一副牌（52张）中，任意抽取4张可有1820种不同组合，其中有458个牌组算不出24点。有1362个牌组算得出24