建筑力学_高职10

第十章压杆稳定主要内容：压杆稳定的概念；细长压杆临界力的欧拉公式；压杆的稳定计算；提高压杆稳定的措施。10.1压杆稳定的概念轴心受压杆件（压杆）的承载能力：对于粗短杆件（截面尺寸较大，纵向长度较小），横截面上的应力超过材料的极限应力时，会因抗压强度不足而破坏（丧失承载能力）。对于细长杆件（截面尺寸较小，纵向长度较大），在横截面上的应力远低于材料的极限应力时，会因突然产生显著的弯曲变形而丧失承载能力。例：钢尺受压时的变形压杆的力学模型：将压杆看作轴线为直线，且压力作用线与轴线重合的均质等直杆。把杆轴线存在的初曲率、压力的作用线偏离轴线、材质不均匀等因素，抽象为使杆产生微小弯曲变形的微小的横向干扰。压杆的平衡状态（Fcr：临界力）（c）急剧弯曲破坏失稳（a）稳定的平衡状态（b）不稳定的平衡状态（临界平衡状态）临界力Fcr是压杆保持直线形状平衡状态所能承受的最大压力，也是压杆处于微弯形状平衡状态所需的最小压力。压杆在开始失稳时杆的应力，可按轴向拉、压杆的应力公式计算，即：crcrFA式中：A—压杆的横截面面积；cr—压杆的临界应力。魁北克大桥坍塌事故10.2细长压杆临界力的欧拉公式10.2.1两端铰支细长压杆的临界力假定在临界力Fcr作用下两端铰支的压杆处于微弯形状的平衡状态，并假设中心受压直杆失稳时只发生平面弯曲变形。通过建立并求解压杆挠曲线的近似微分方程就可以确定临界力Fcr。22crπlEIF两端铰支细长压杆临界力的计算公式:10.2.2其他杆端约束下细长压杆的临界力细长压杆的临界力统一计算公式（欧拉公式）：2cr2π()EIFl式中的μ称为压杆的长度因数，μl称为压杆的相当长度。表10.1四种典型细长压杆的临界力【例10.1】一长l=4m，直径d=100mm的细长钢压杆，在xy平面内为两端铰支，在xz平面内为为一端铰支、一端固定。已知钢的弹性模量E=200GPa，求此压杆的临界力。4441244m10049.064m10100π64πdI【解】钢压杆圆形截面的惯性矩为：22944cr2226ππ20010Pa0.04910m==()14m=0.610N600kNEIFl由临界力是使压杆失稳所需的最小压力：在xy平面内的杆端约束为两端铰支，=1在xz平面一端铰支、一端固定，=0.7故失稳将发生在xy平面内，应取=1【例10.2】图示一两端铰支的细长木柱，己知柱长l=3m，横截面为80mm×140mm的矩形，木材的弹性模量E=10GPa。求此木柱的临界力。2cr229-84222π()π1010Pa597.310m(13)m65510N65.5kNyEIFl计算临界力Fcr：34448414080mm=597.310mm=597.310m12yI【解】因为临界力是使压杆产生失稳所需要的最小压力，所以I应取Imin=Iy，10.3欧拉公式的适用范围与经验公式10.3.1欧拉公式的适用范围欧拉公式只有当材料处于线弹性范围内（即临界应力cr不大于材料的比例极限p）时才能使用。欧拉公式可以改写为：22crcr22ππ(l)FEIEAAli—压杆横截面的惯性半径。IiA则欧拉公式可改写为：22crπE—称为压杆的柔度或长细比。由上式，欧拉公式的适用范围为：2p2πE≤或2pπE≥=lip是对应于比例极限的柔度值。综上可知，只有柔度≥p的压杆，才能用欧拉公式计算其临界力。柔度≥p的压杆称为大柔度压杆或细长压杆。令2ppπEcr—关系曲线（欧拉曲线）2ppπE22crπE10.3.2抛物线公式p的压杆称为中、小柔度压杆。这类压杆的临界应力通常采用经验公式进行计算。经验公式是根据大量试验结果建立起来的,目前常用的有直线公式和抛物线公式两种。抛物线公式为：cr=sa2式中：s—材料的屈服极限，单位为MPa；a—与材料有关的常数，单位为Mpa。Q235钢压杆的临界应力总图压杆的柔度值不同,临界应力的计算公式页不同。为了直观地表达这一点，可以绘出临界应力随柔度的变化曲线，这种图线称为压杆的临界应力总图。【例10.3】图示压杆的横截面为矩形，h=80mm，b=50mm，杆长l=2m，材料为Q235钢，s=235MPa,C=123。在图(a)所示平面内，杆端约束为两端铰支；在图(b)所示平面内,杆端约束为两端固定。求此压杆的临界力。【解】1）判断压杆的失稳平面。在xy平面内为两端铰支，μ=1。惯性半径为：柔度为：m100923m1210801233.hiz686100923213..ilzz在xz平面内为两端固定，μ=0.5。惯性半径为：柔度为：335010m14.4310m1212ybi3691043142503...ilyy由zy，可知压杆将在xy平面内失稳。2）计算压杆的临界力。因z=86.6C=123，故采用抛物线公式计算压杆的临界应力：cr=2350.006682=185MPa压杆的临界力为：Fcr=crA=185106Pa8010－35010－3m2=740103N=740kN10.4压杆的稳定计算10.4.1安全因数法为了保证压杆能够安全地工作，要求压杆承受的压力F应满足：crstt[]sFFFn≤上式两边同时除以横截面面积A，得：：ststst[]FAn≤式中：nst—稳定安全因数；[F]st—稳定许用压力；[]st—稳定许用应力。上面两式称为压杆的稳定条件。10.4.2折减因数法将稳定条件安全因数法中的稳定许用应力[]st写成材料的强度许用应力[]乘以一个随压杆柔度而改变且小于1的因数=()，即：[]st=[]上式中的称为压杆的折减因数或稳定因数。由此可得折减因数法的稳定条件为：[]FA≤折减因数可以在相关设计规范中查得。【例10.4】图示木屋架中AB杆的截面为边长a=110mm的正方形，杆长l=3.6m，承受的轴向压力F=25kN。木材的树种强度等级为TC13，许用应力[]=10MPa。试校核AB杆的稳定性（只考虑在桁架平面内的失稳）。110mm31.75mm1212ai313.610113.431.75li228000.21832622510N2.066MPa[]2.18MPa11010mFA【解】正方形截面的惯性半径为：AB杆在桁架平面内两端为铰支，故μ=l。AB杆的柔度为：折减因数为：AB杆的工作应力为：因此AB杆是稳定的。10.5提高压杆稳定性的措施1、合理地选择材料对于大柔度压杆，临界应力cr=，因此采用E值较大的材料能够增大临界应力，提高稳定性。对于中、小柔度压杆，从计算临界应力的抛物线公式可以看出，采用强度较高的材料能够提高临界应力，从而提高稳定性。22πE2、减小压杆的柔度从压杆的临界应力总图得知，压杆的柔度=越小，其临界应力越大，压杆的稳定性越好。为了减小柔度,可以采取如下措施。（1）加强杆端约束压杆的杆端约束越强，值就越小，也就越小。li（2）减小杆的长度杆长l越小，则柔度越小。在工程中，通常用增设中间支撑的方法来达到减小杆长。（3）选择合理的截面在截面积相同的情况下，采用空心截面或组合截面比采用实心截面的抗稳能力高；在抗稳能力相同的情况下，则采用空心截面或组合截面比采用实心截面的用料省。