大学物理第21章 波动

§第21章波动第21章波动波动一定的扰动的传播波动机械波电磁波概率波微观粒子波动性§21.1行波机械振动在介质中的传播过程。变化的电场和变化的磁场在空间的传播过程1.机械波的产生条件☆有可供传播的弹性媒质☆有波源2.横波和纵波1）.横波质点的振动方向和波的传播方向垂直。波谷波峰振动方向传播方向质点的振动方向和波的传播方向平行。波密波疏2）.纵波振动方向传播方向（一定运动形态的传播过程）波源作简谐振动,在波传到的区域,媒质中的质元均作简谐振动。以绳上横波为例来看质元的运动情况。§21.2简谐波●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●05101520250t振动方向4Tt●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●2Tt●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●43Tt●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●45Tt●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●波的传播方向Tt●●●●●●也即媒质质元的振动频率。单位时间波所传过的距离。1）.波长两相邻同相点间的距离。即相位差为2π的质点间的距离。——描述波的空间周期性2）.波的周期——描述波的时间周期性传播一个波长距离所用的时间。即质元的振动周期。波的频率:单位时间传过媒质中某点的完整波的个数。3）.波速u波速ｕ又称相速度(相位传播速度)uTTu1、描述波的特征量同一频率的波，其波长随介质的不同而不同。Tu由于波速的大小取决于介质的性质。在波动过程中，振动相位相同的点连成的面。2）.波面（同相面）任何时刻，波面有无数多个，最前方的波面叫波前。波前:波面与波面垂直、指向波的传播方向的线。3）.波线在各向同性介质中传播时，波线和波阵面垂直。在远离波源的球面波波面上的任何一个小部份，都可视为平面波。球面波波线波面平面波波线波面4.简谐波的表达式(波函数)沿x正方向传播的简谐波，波速为u，角频率为ω设媒质无吸收，即质元振幅均为A已知参考点O的振动方程为tAtycos)(0x·xo波速ｕy●P任一点P的振动方程即为波函数（波动方程）。参考点取在原点●x2(,)cos()yxtAtx2k令称作波数)cos(),(kxtωAtxy)(cos),(uxtAtxy以上是波函数的四种表达形式)(2cos),(xTtAtxyxoy波速ｕ·●Putx——称为波函数u5.波函数的物理意义1）.当x一定时设：0()xx常则：02cos()yAtx表示x0处质元在其平衡位置附近以角频率ω作简谐运动位移的变化规律。)(tyytyOtx0处的质元在不同时刻的相位差为振动曲线02cos()yAtx表示t0时刻波线上各个质元偏离各自平衡位置的位移所构成的波形曲线(波形图)。2）.当t一定时设：0()tt常则：)(xyy沿波线方向，同一时刻任意两点x1、x2的简谐振动相位差为：x2xOyux3●x2●x1●x12122xx以x、y为坐标轴，将能得到一组曲线。3）.x、t都变化时)2cos(),(xtAtxyxOyutuxt1t1+Δt波动方程不仅表示波射线上给定点的振动情况，某时刻波形，初位相及比原点落后的相位，还反映了振动状态的传播，波形的传播，能量的传播。0cos[2()]txyATt或x每增加T或,相位重复出现，反映了时间和空间的周期性。0(,)cos[()]xyxtAtu02(,)cos()yxtAtx0(x,t)cos[2()]txyAT沿x轴正向传播的波函数的多种表达形式：0(x,t)cos[2()]xyAt0(,)cos()yxtAtkxuT2T2kux6.沿x轴负方向传播的平面简谐波的表达式O点简谐振动方程：tωAycos0波函数为：)(cosuxtAyP点的振动时间比O点处早uxxOyu●PP点的相位比O点超前：x2)2cos(xtA●P沿x轴负方向传播的平面简谐波的表达式：0(,)cos[()]xyxtAtu02(,)cos()yxtAtx0(x,t)cos[2()]txyAT0(x,t)cos[2()]xyAt0(,)cos()yxtAtkxuT2T2ku例：设某一时刻绳上横波的波形曲线如图所示，波的传播方向左。试分别用小箭头表明图中A、B、C、D、E、F、G、H、I各质点的运动方向，并画出经过1/4周期后的波形曲线。ABCDEFGHIxy波形图画法B、A的振动总是落后于C点，D、E、F、G、H、I的振动总是超前于C点。t=t1时波形图xy0ACBEDGFIHxyABCDEFGHI经过T/4的波形图u方法一：用周期、位移和相位的关系用描点法画波形图ut=t1t=t1+T/4λ例1：一列平面简谐波以波速u沿x轴正向传播，波长为λ。已知在A点，x0=λ/4处的质元的振动表达式为设在x轴上任一点P的坐标为x，uxxt0tAyoxcos试写出波函数。并在同一张坐标图中画出t=T和t=5T/4时的波形图。解：xλ/4xOyu●A·P●)4(cosuxtAy波函数：)]4(2cos[xtAux4P点的振动要比A点的振动晚：任一点P的振动表达式即波函数为)22cos(xtA)]4(2cos[xtAyx·xyPAλ/4Ou●●从相位上看，P点比A点落后：x2tAyoxcos因此在已知参考点的振动方程写波函数时，即可从时间差入手，也可从相位差入手，用相位差写时，由于质元的距离之差较直观，所以更简单一些。12)4(2xΔxxt=T时的波形与t=0时的波形完全一样。)22cos(xAyu2λ●λ●23λ●λ2●T4TT可由给出t=5T/4时，波形曲线向x轴正向平移了一段距离41Oy●4xA2sintux)45(TTuuT41例2：一条长线用水平力张紧，其上产生一列简谐横波向左传播，波速为20m/s，在t=0时它的波形曲线如下，1、求波的振幅、波长和波的周期；2、写出波函数；3、写出质点振动速度表达式。t=0x/m0.10.30.50.7y/10-2m4●O●●●●●●●A=4×10-2m解：1、λ=0.4m由图可看出uTu)(501s)2cos(0tAy波函数为)25100cos(1042xt3、质元振动速度tyv波向左传播，则原点O处质元的振动表达式为2、t=0x/m0.10.30.50.7y/10-2m4●O●●●●●●●●u●A)22cos(xtAy)5100cos(6.12xt例3：如图所示，已知振源x=0的振动曲线，沿x轴的正方向传播，u=4m/s，。求t=3s时波形曲线。解：t=0时，x=0处的振动状态,经3s后传递的位移-0.50.51234t(s)y(cm)0x(m)y(cm)048120.5-0.5)2cos(5.00tyot=0:5.0cos5.00oy00)2cos(5.0tyo波函数：)4(2cos5.0xtyt=3s:)823cos(5.0xyO点的振动方程：xut例4：已知正向波在t=0时的波形图，波速u=1200m/s。求波函数和波长。x(m)y(cm)00.05-0.110Mut=0t+t解：设波函数为0(,)cos[()]xyxtAtu由图，得：A=0.10cm如何确定，0？初始条件：/20.05oyA0ovA/20=/3yM点：0MMxu0MvM=-/2100(,)0.1cos[100()]12003xyxtt224uTum/3o2§21.3物体的弹性形变杨氏模量：E；胡克定律：弹性范围内，应力和线应变成正比llESF1.固体的线变应力：线应变：形变物体的弹性势能为：2)(21llEVSlFFl;llF/S；2)(21lkWp2)(21llES21()2plEl单位体积的弹性势能为：切变模量：G；弹性范围内，切应力和切应变成正比：GFdGSD2.固体的切变形变物体的弹性势能为：22211()()221()2pGSWkddDdGVDΔdΔd切应力：F/S；切应变：φ=Δd/D；DSFFφ21()2pdGD形变物体单位体积的弹性势能为：3.体变体积模量：K；体应变：ΔV/V；V压强的改变量：ΔP；VVVKP则：固体既能传播与切变有关的横波，又能传播与线变和体变有关的纵波。pppp液体和气体可发生弹性体变但不能发生切变，所以只能传播纵波而不能传播横波。11VkKVP引入压缩系数k：§21.4弹性介质中的波速(1)弹性介质中的波是靠介质各质元间弹性力作用而形成的。因此弹性越强大介质，在其中形成的波动传播速度就会越大；或者说，弹性模量越大的介质中，波动传播速度就越大。(2)波速与介质密度有关，密度越大，各质元质量越大，惯性越大，速度越小。2.波动方程推导以棒中平面简谐纵波为例利用牛顿定律推导机械波波动方程:yt时刻质元长度的增量;x:xx和质元两端面的坐标;:x质元长度;y:yy和有波传播时t时刻质元两端面离开平衡位置的位移。:yx质元的线应变;xy0x令则平衡位置坐标为x的微小质元在t时刻的线应变：图21.10推导波的速度用图●●xxxx以y表示各处材料对于平衡位置的位移左端线应变：右端线应变：xxy)(xxxy)(由胡克定律：xxySEF)(1xxxySEF)(2])()[(12xxxxyxySEFFxxySExxyxSE22)(x2F1F棒的质量为：;mSx当Δx很小时，棒的加速度为：22ty由牛顿第二定律：222222tyxStymxxySE即：2222tyExy棒中纵波的传播速度：Eu——棒中纵波波动方程1.固体棒中传播纵波时引起线变，而波速等于luEE-杨氏模量；-质量体密度2.拉紧的绳索或细线中，横波的波速为：FtluE-绳索或细线中张力；-质量线密度3.“无限大”各项同性均匀固体介质中波速为：G-切变模量-质量体密度tuG4.液体和气体中传播的纵波波速为：luKK-体积模量-质量体密度;luE§2.5波的能量波的强度)(cos),(uxtAtxy平面简谐波的波函数：机械波的能量等于振动动能加形变势能。该质元的动能为：22)(21)(21vVρvmWk1机械波的能量考虑一质元体积V，长度x，其质量为m=V该质元的振速为：)(sinuxtAtyv以棒中简谐纵波为例：)(sin)(21222uxtAVWk该质元的线应变为：)(sinuxtωuωAxy)(sinuxtωuωAxy动能和势能同相地随时间变化，在任意时刻都具有相同的数值。)(sin)(21222uxtAVWk质元动能：该质元的线应变：2))((21xyVEWpVuxtωAωuE)(sin212222)(sin)(21222uxtωAωVρ波动不同于孤立振动系统的重要特点!体积元的总机械能pk)(sin)(222uxtVA2221sin()2PdEAtkxdV222sin()PkdEdEdEAtkxdV2221sin()2kdEA