相似三角形---射影定理的运用

相似三角形------射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广），而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。一、射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。（证明略）二、变式推广１．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。（证明略）２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。（后文简称：射影定理变式（2））如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。（证明略）三、应用例１如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求证：４ＤＨ•ＤＡ＝ＢＣ２分析：易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C＝∠HBD，联想到射影定理变式（2），可得ＢＤ２＝ＤＨ•ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。（证明略）例２如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分，求ＤＣ。分析：易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ，满足射影定理变式（2）的条件，故有ＣＤ２＝ＤＥ•ＤＢ，易求得ＤＣ＝８(解略)例3已知：如图（5），△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，求证：ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。证明：连ＡＦ，∵ＦＨ垂直平分ＡＤ，∴ＦＡ＝ＦＤ，∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ，∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ，∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦC公共，∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴ＢＦＡＦ＝ＡＦCＦ，∴ＡＦ２＝ＣＦ•ＢＦ，∴ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。射影定理练习【选择题】1、已知直角三角形ABC中，斜边AB=5cm,BC=2cm，D为AC上的一点，DEAB交AB于E，且AD=3.2cm，则DE=（）A、1.24cmB、1.26cmC、1.28cmD、1.3cm2、如图1-1，在RtABC中，CD是斜别AB上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（）线段的长，就可以求其他线段的长A、1B、2C、3D、43、在RtABC中，90BAC，ADBC于点D，若34ACAB，则BDCD（）A、34B、43C、169D、9164、如图1-2，在矩形ABCD中，1,3DEACADECDE，则EDB（）A、22.5B、30C、45D、60【填空题】5、ABC中，90A，ADBC于点D，AD=6，BD=12，则CD=，AC=，22:ABAC=。6、如图2-1，在RtABC中，90ACB，CDAB，AC=6，AD=3.6，则BC=．【解答题】如图7、已知CD是ABC的高，,DECADFCB，3-1，求证：CEFCBA∽8、已知90CAB，ADCB，ACE，ABF是正三角形，求证：DEDF9、如图3-2，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中点，DEAM，E是垂足，求证：2224abDEab10、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E．求证：（1）△AED∽△CBM；（2）AE•CM=AC•CD．11、已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，过点B做射线BG，交AD、AC于E、F两点，与过点C平行于AB的直线交于点G。求证：（1）BE2=EF•EG（2）若过点B的射线交AD\AC的射线ＡＤ、ＡＣ的延长线分别于Ｅ、Ｆ两点，与过C平行于ＡＢ的直线交于点Ｇ，则（）的结论是否成立，若成立，请说明理由。参考答案1、C2、B3、C4、C5、3,35,4:16、87、证明：在RtADC中，由射影定律得，2CDCEAC，在RtBCD中，2CDCFBC,CEBCCEACCFBCCFAC又ECFBCA，CEFCBA8、证明：如图所示，在RtBAC中，22,ACCDCBABBDBC222ACCDCDCDCDADABBDCDBDADADBD,,AEADACAEABAFBFBD60,60,FBDABDEADCADABDCAD又FBDEAD，,EADFBDBDFADE90FDEFDAADEFDABDFDEDF9、证明：在RtAMB和RtADE中，AMBDAE，90ABMAED所以RtAMB～RtADE所以ABAMDEAD，因为AB=a，BC=b，所以2222244ABADababDEAMbaba10、证明：（1）∵△ABC是直角三角形，∴∠A+∠ABC=90°，∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，即∠MCB+∠ABC=90°，∴∠A=∠MCB，∵CD⊥AB，∴∠2+∠DMB=90°，∵DH⊥BM，∴∠1+∠DMB=90°，∴∠1=∠2，又∵∠ADE=90°+∠1，∠CMB=90°+∠2，∴∠ADE=∠CMB，∴△AED∽△CBM；（2）∵△AED∽△CBM，∴AE：AD=CB：CM，∴AE•CM=AD•CB，∵△ABC是直角三角形，CD是AB上的高，∴△ACD∽△CBD，∴AC：AD=CB：CD，∴AC•CD=AD•CB，∴AE•CM=AC•CD．11、连结EC。证明先BE=EC。再证△CEF∽△GEC