湖北省蕲春县第一高级中学高中数学选修2-1《3.2.3-空间向量与空间角》-导学案-

3.2.2空间向量与空间角导学案数学组三维目标:1.进一步熟练空间向量的运算及应用2.熟练地掌握求三类角的向量方法教学重难点:利用向量求线线角、线面角、二面角的方法教学过程I.回顾导入1.两向量的夹角a→),,(111zyxb→),,(222zyxCosa→,b→==.2.那么如何利用两向量的夹角来求线线角、线面角、二面角呢？II.新知探究1.异面直线所成角θ范围.思考：两异面直线所成与向量a→，b→所成角关系是.结论：cosθ==.2.线面角范围.思考：线面角与向量a→，n→所成角关系是.结论：sinθ==.3.二面角范围.思考：二面角与n1→，n2→所成角关系是.结论：|cosθ|=＝.注意：1.根据图形二面角是钝角还是锐角一般是明显的。2.注意法向量方向：一进一出，相等；同进同出，互补。Ⅲ.典型例题例：如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA=AB=2,PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（1）求异面直线EF与PD所成角的余弦值．（2）求EF与平面PAD所成角的余弦值．（3）求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．·（1）解：∵四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点，∴△ABC是等边三角形，∴AE⊥BC，∴AE⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，∴AE、AD、AP两两垂直，∴以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵E，F分别为BC，PC的中点，PA=AB=2，则A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），∴EF→=(﹣32,12,1)PD→=(0,2,﹣2)CosEF→,PD→=EF→•PD→|EF→||PD→|=0+1-22×22=﹣14∴异面直线EF与PD所成角的余弦值为14.（2）平面PAD的一个法向量AE→=(3,0，0)设EF与平面PAD所成角为θ∴sinθ=|cosEF→,AE→|=|EF→•AE→|EF→||AE→||=|﹣322×3|=64∴cosθ=104∴EF与平面PAD所成角的余弦值为104.（3）∵，，设平面AEF的一个法向量为，则取z1=﹣1，得m→=（0，2，﹣1），∵BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，∴BD⊥平面AFC，EB1D1xADFByC1A1z··C∴为平面AFC的一法向量．又，∴cos＜＞==．∵二面角E﹣AF﹣C为锐角，∴所求二面角E﹣AF﹣C的余弦值为．练习：已知E,F分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC和CD中点，求（1）A1F与平面B1EB所成角的余弦值（2）二面角C-D1B1-B的余弦值