2018版高中数学人教版A版选修2-1学案：3.2-第3课时-空间向量与空间角

第3课时空间向量与空间角[学习目标]1.理解直线与平面所成角的概念.2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题.3.掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤．知识点一两条异面直线所成的角设两条异面直线a，b所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cosθ＝|a·b||a||b|，范围(0°，90°]．知识点二直线和平面所成的角设直线和平面所成的角为θ，且直线的方向向量为a，平面的法向量为b，则sinθ＝|a·b||a||b|，范围[0°，90°]．知识点三二面角的平面角设二面角αlβ的锐二面角大小为θ，且两个半平面的法向量分别为a，b，则cosθ＝|a·b||a||b|，范围(0°，180°]．题型一两条异面直线所成角的向量求法例1如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．解以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以A1B→＝(2,0，－4)，C1D→＝(1，－1，－4)．因为cos〈A1B→，C1D→〉＝|A1B→·C1D→||A1B→||C1D→|＝1820×18＝31010，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为31010.反思与感悟建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系；利用向量法求两异面直线所成角的计算思路简便，要注意角的范围．跟踪训练1如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB上的动点．若异面直线AD1与EC所成角为60°，试确定此时动点E的位置．解以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设E(1，t,0)(0≤t≤2)，则A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0,1)，C(0,2,0)，D1A→＝(1,0，－1)，CE→＝(1，t－2,0)，根据数量积的定义及已知得：1＋0×(t－2)＋0＝2×1＋t－22·cos60°，所以t＝1，所以点E的位置是AB的中点．题型二直线与平面所成角的向量求法例2已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值．解建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，M(0，a2，2a)，C1(－32a，a2，2a)，B(0，a,0)，故AC1→＝(－32a，a2，2a)，AM→＝(0，a2，2a)，BC1→＝(－32a，－a2，2a)．设平面AMC1的法向量为n＝(x，y，z)．则AC1→·n＝0，AM→·n＝0，∴－32ax＋a2y＋2az＝0，a2y＋2az＝0，令y＝2，则z＝－22，x＝0.∴n＝(0,2，－22)．又BC1→＝(－32a，－a2，2a)，∴cos〈BC1→，n〉＝BC1→·n|BC1→||n|＝－a－a3a×92＝－269.设BC1与平面AMC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈BC1→，n〉|＝269.反思与感悟借助于向量求线面角关键在于确定直线的方向向量和平面的法向量，一定要注意向量夹角与线面角的区别和联系．跟踪训练2如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.(1)求证：AB∥FG；(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．(1)证明在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE.又因为AB⊄平面PDE，DE⊂平面PDE，所以AB∥平面PDE.因为AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG，所以AB∥FG.(2)解因为PA⊥底面ABCDE，所以PA⊥AB，PA⊥AE.如图，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，BC→＝(1,1,0)，AB→＝(1,0,0)，AF→＝(0,1,1)．设平面ABF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·AB→＝0，n·AF→＝0，即x＝0，y＋z＝0.令z＝1，则y＝－1，所以n＝(0，－1,1)．设直线BC与平面ABF所成角为α，则sinα＝|cos〈n，BC→〉|＝n·BC→|n||BC→|＝12.因此直线BC与平面ABF所成角的大小为π6，设点H的坐标为(u，v，w)．因为点H在棱PC上，所以可设PH→＝λPC→(0λ1)，即(u，v，w－2)＝λ(2,1，－2)，所以u＝2λ，v＝λ，w＝2－2λ.因为n是平面ABF的一个法向量，所以n·AH→＝0，即(0，－1,1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0.解得λ＝23，所以点H的坐标为(43，23，23)．所以PH＝432＋232＋－432＝2.题型三二面角的向量求法例3如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D－AF－E与二面角C－BE－F都是60°.(1)证明：平面ABEF⊥EFDC；(2)求二面角E－BC－A的余弦值.(1)证明由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，所以AF⊥平面EFDC，又AF⊂平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC.(2)解过D作DG⊥EF，垂足为G，由(1)知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点，GF→的方向为x轴正方向，|GF→|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G－xyz.由(1)知∠DFE为二面角D－AF－E的平面角，故∠DFE＝60°，则|DF|＝2，|DG|＝3，可得A(1，4，0)，B(－3，4，0)，E(－3，0，0)，D(0，0，3).由已知，AB∥EF，所以AB∥平面EFDC，又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，故AB∥CD，CD∥EF，由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，所以∠CEF为二面角C－BE－F的平面角，∠CEF＝60°，从而可得C(－2，0，3).所以EC→＝(1，0，3)，EB→＝(0，4，0)，AC→＝(－3，－4，3)，AB→＝(－4，0，0).设n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量，则n·EC→＝0，n·EB→＝0，即x＋3z＝0，4y＝0.所以可取n＝(3，0，－3).设m是平面ABCD的法向量，则m·AC→＝0，m·AB→＝0.同理可取m＝(0，3，4)，则cos〈n，m〉＝n·m|n||m|＝－21919.故二面角E－BC－A的余弦值为－21919.反思与感悟设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图．用坐标法的解题步骤如下：(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．(2)求法向量：在建立的空间直角坐标系下求两个面的法向量n1，n2.(3)计算：求n1与n2所成锐角θ，cosθ＝|n1·n2||n1|·|n2|.(4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ.跟踪训练3如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角AA1DB的余弦值．解如图所示，取BC中点O，连接AO.因为△ABC是正三角形，所以AO⊥BC，因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1中点为O1，以O为原点，OB→，OO1→，OA→为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，3)，A(0,0，3)，B1(1,2,0)．设平面A1AD的法向量为n＝(x，y，z)，AD→＝(－1,1，－3)，AA1→＝(0,2,0)．因为n⊥AD→，n⊥AA1→，得n·AD→＝0，n·AA1→＝0，得－x＋y－3z＝0，2y＝0，所以y＝0，x＝－3z.令z＝1，得n＝(－3，0,1)为平面A1AD的一个法向量．又因为AB1→＝(1,2，－3)，BD→＝(－2,1,0)，BA1→＝(－1,2，3)，所以AB1→·BD→＝－2＋2＋0＝0，AB1→·BA1→＝－1＋4－3＝0，所以AB1→⊥BD→，AB1→⊥BA1→，即AB1⊥BD，AB1⊥BA1，又BD∩BA1＝B，BD⊂平面A1BD，BA1⊂平面A1BD，所以AB1⊥平面A1BD，所以AB1→是平面A1BD的一个法向量，所以cos〈n，AB1→〉＝n·AB1→|n||AB1→|＝－3－32·22＝－64，又因为二面角A—A1D—B为锐角，所以二面角A—A1D—B的余弦值为64.1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则直线l与平面α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案A解析由cos〈m，n〉＝－12知，直线l与平面α所成的角为90°－60°＝30°.2．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°答案C解析∵cos〈m，n〉＝12＝22，∴二面角的大小为45°或135°.3．在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB＝2BB1，则AB1与C1B所成角的大小为()A．60°B．90°C．105°D．75°答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，则A(0,0,1)，B162，22，0，C1(0，2，0)，B62，22，1.∴AB1→＝62，22，－1，C1B→＝62，－22，1，∴AB1→·C1B→＝64－24－1＝0，∴AB1→⊥C1B→.即AB1与C1B所成角的大小为90°.4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A.23B.33C.23D.63答案D解析设正方体的棱长为1，建系如图．则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)．平面ACD1的一个法向量为DB1→＝(1,1,1)．又BB1→＝(0,0,1)，则cos〈DB1→，BB1→〉＝DB1→·BB1→|DB1→||BB1→|＝13×1＝33.故BB1与平面ACD1所成角的余弦值为1－332＝63.5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为________．答案925解析如图，建立空间直角坐标系．由已知得A1(4,0,0)，B(4,4,3)，B1(4，4,0)，C(0,4,3)．∴A1B→＝(0,4,3)，B1C→＝(－4,0,3)，∴cos〈A1B→，B1C→〉＝925.利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系．首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量；其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系．