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精心整理页脚内容2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题:本大题共12小题.每小题5分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1、已知集合A={1,2,3},B={x|x29},则A∩B=()A.{–2,–1,0,1,2,3}B.{–2,–1,0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2}2、设复数z满足z+i+3–i,则=()A.–1+2iB.1–2iC.3+2iD.3–2i3、函数y=Asin(ωx+φ)的部分图像如下左1图,则()A.y=2sin(2x–)B.y=2sin(2x–)C.y=2sin(2x+)D.y=2sin(2x+)4、体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为()A.12πB.πC.8πD.4π5、设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=()A.B.1C.D.26、圆x2+y2?2x?8y+13=0的圆心到直线ax+y?1=0的距离为1,则a=()A.?B.?C.D.27、如上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.20πB.24πC.28πD.32π8、某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.B.C.D.9、中国古代有计算多项式值得秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的a为2,2,5,则输出的s=()A.7B.12C.17D.3410、下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是()A.y=xB.y=lgxC.y=2xD.y=11、函数f(x)=cos2x+6cos(–x)的最大值为()A.4B.5C.6D.712、已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2–x),若函数y=|x2–2x–3|与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则1=miix()A.0B.mC.2mD.4m二、填空题:共4小题,每小题5分.13、已知向量a=(m,4),b=(3,–2),且a∥b,则m=___________.14、若x,y满足约束条件,则z=x–2y的最小值为__________.15、△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=____________.16、有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17、(本小题满分12分)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.18、(本小题满分12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:精心整理页脚内容上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:一年内出险次数01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度的平均保费估计值.19、(本小题满分12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E、F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H,将△DEF沿EF折到△D'EF的位置.(1)证明:AC⊥HD';(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD'=2求五棱锥D'–ABCEF体积.20、(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x+1)lnx–a(x–1).(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)0,求a的取值范围.21、(本小题满分12分)已知A是椭圆E:+=1的左顶点,斜率为k(k0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积.(2)当2|AM|=|AN|时,证明:k2.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22、(本小题满分10分)[选修4–1:几何证明选讲]如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.(1)证明:B,C,G,F四点共圆;(2)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.23、(本小题满分10分)[选修4–4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.24、(本小题满分10分)[选修4–5:不等式选讲]已知函数f(x)=|x–|+|x+|,M为不等式f(x)2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,b∈M时,|a+b||1+ab|.2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案一、选择题D、C、A、A、DA、C、B、C、DB、B二、填空题13、–6;14、–5;15、;16、1和3.三、解答题17、答案:(1)an=;(2)24.分析:(1)根据等差数列的性质求a1,d,从而求得an;(2)根据已知条件求bn,再求数列{bn}的前10项和.解析:(1)设数列{an}的公差为d,由题意有2a1–5d=4,a1–5d=3,解得a1=1,d=,所以{an}的通项公式为an=.(2)由(1)知bn=[],精心整理页脚内容当n=1,2,3时,1≤2,bn=1;当n=4,5时,2≤3,bn=2;当n=6,7,8时,3≤4,bn=3;当n=9,10时,4≤5,bn=4.所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.考点:等差数列的性质,数列的求和.18、答案:(1)由求P(A)的估计值;(2)由求P(B)的估计值;(3)根据平均值得计算公式求解.解析:(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内险次数小于2的频率为=0.55,故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3,故P(B)的估计值为0.3.(3)由题所求分布列为:保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.30+2a×0.10=1.1925a,因此,续保人本年度平均保费估计值为1.1925a.考点:样本的频率、平均值的计算.19、答案:(1)详见解析;(2).分析:(1)证AC∥EF.再证AC∥HD';(2)证明OD'⊥OH,再证OD'⊥平面ABC.最后求五棱锥D'–ABCEF体积.解析:(1)由已知得,AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得=,故AC∥EF.由此得EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC∥HD'.(2)由EF∥AC得==.由AB=5,AC=6得DO=BO==4.所以OH=1,D'H=DH=3.于是OD'2+OH2=(2)2+12=9=D'H2,故OD'⊥OH.由(1)知AC⊥HD',又AC⊥BD,BD∩HD'=H,所以AC⊥平面BHD',于是AC⊥OD'.又由OD'⊥OH,AC∩OH=O,所以,OD'⊥平面ABC.又由=得EF=.五边形ABCFE的面积S=×6×8–××3=.所以五棱锥D'–ABCEF体积V=××2=.考点:空间中的线面关系判断,几何体的体积.20、答案:(1)2x+y–2=0;(2)(–∞,2].分析:(1)先求定义域,再求f'(x),f'(1),f(1),由直线方程得点斜式可求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x+y–2=0;(2)构造新函数g(x)=lnx–,对实数a分类讨论,用导数法求解.解析:(1)f(x)的定义域为(0,+∞).当a=4时,f(x)=(x+1)lnx–4(x–1),f'(x)=lnx+–3,f'(1)=–2,f(1)=0.曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x+y–2=0.(2)当x∈(1,+∞)时,f(x)0等价于lnx–0.令g(x)=lnx–,则g'(x)=–=,g(1)=0,①当a≤2,x∈(1,+∞)时,x2+2(1–a)x+1≥x2–2x+10,故g'(x)0,g(x)在x∈(1,+∞)上单调递增,因此g(x)0;②当a2时,令g'(x)=0得x1=a–1–,x2=a–1+,由x21和x1x2=1得x11,故当x∈(1,x2)时,g'(x)0,g(x)在x∈(1,x2)单调递减,因此g(x)0.综上,a的取值范围是(–∞,2].考点:导数的几何意义,函数的单调性.21、答案:(1);(2)(,2).分析:(1)先求直线AM的方程,再求点M的纵坐标,最后求△AMN的面积;(2)设M(x1,y1),将直线AM的方程与椭圆方程组成方程组,消去y,用k表示x1,从而表示|AM|,同理用k表示|AN|,再由2|AM|=|AN|,求k.解析:(1)设M(x1,y1),则由题意知y10.由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为,又A(–2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y–2代入+=1得7y2–12y=0,解得y=0或y=,所以y1=.精心整理页脚内容因此△AMN的面积S△AMN=2×××=.(2)将直线AM的方程y=k(x+2)(k0)代入+=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2–12=0.由x1·(–2)=得x1=,故|AM|=|x1+2|=.由题设,直线AN的方程为y=–(x+2),故同理可得|AN|=.由2|AM|=|AN|得=,即4t3–6t2+3t–8=0.设f(t)=4t3–6t2+3t–8,则k是f(t)的零点,f'(t)=12t2–12t+3=3(2t–1)2≥0,所以f(t)在(0,+∞)单调递增,又f()=15–260,f(2)=60,因此f(t)在(0,+∞)有唯一的零点,且零点k在(,2)内,所以k2.考点:椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号22、答案:(1)详见解析;(2).分析:(1)证△DGF∽△CBF,再证B,C,G,F四点共圆;(2)证明Rt△BCG∽Rt△BFG.四边形BCGF的面积S是△GCB面积S△GCB的2倍.解析:(1)因为DF⊥EC,所以△DEF∽△CDF,则有∠GDF+∠DEF=∠FCB,==,所以△DGF∽△CBF.由此可得∠DGF=∠CBF,由此∠CGF+∠CBF=180°,所以B,C,G,F四点共圆.(2)由B,C,G,F四点共圆,CG⊥CB知FG⊥FB,连结GB,由G为Rt△DFC斜边CD的中点,知GF=GC,故Rt△BCG∽Rt△BFG.因此四边形BCGF的面积S是△GCB面积S△GCB的2倍,即S=2S△GCB=2×××1=.考点:三角形相似、全等,四点共圆23、答案:(1)ρ2+12ρcosθ+11=0;(2)±.分析:(1)利用ρ2=x2+y2,x=
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