全等三角形经典典型题8题及答案

三角形辅助线做法图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。1．如图，在锐角三角形ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，且CD，BE交于点P，若∠A=50°，求∠BPC的度数。2、过等腰直角三角形直角顶点A作直线AM平行于斜边BC，在AM上取点D，使BD=BC，且DB与AC所在直线交于E，求证：CD=CE。3、Rt△ABC，AB=AC,BM是中线，AD⊥BM交BC于D，交BM于E求证：∠AMB=∠CMD4.如图，已知△ABC是等边三角形，∠BDC＝120º，说明AD=BD+CD的理由5.如图14-29①，在ΔABC中∠ACB=90º，AC=BC，M为AB中点，P为AB上一动点（PCABMDECABMD不与A、B重合），PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F。（1）求证：ME=MF，ME⊥MF；（2）如点P移动至AB的延长线上，如图14-29②，是否仍有如上结论？请予以证明。6．已知：如图，点D在△ABC的边CA的延长线上，点E在BA的延长线上，CF、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线，且∠B=30°，∠D=40°，求∠F的度数。7、等边三角形ABC和等边三角形DEC，D在AC边上。延长BD交CE延长线于N，延长AE交BC延长线于M。求证：CM=CN8、操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．ABCEMND解题答案参考：2、证明:作AF⊥BC于F,DG⊥BC于G.∵AM∥BC.∴AF=DG.(平行线间距离相等)又∵△ABC为等腰直角三角形.∴AF=BC/2.又DG=AF,BC=BD.∴DG=BD/2,则∠DBC=30°.(直角三角形中等斜边一半的直角边所对的内角为30度)故:∠CDE=(180°-∠DBC)=75°;∠CED=∠DBC+∠ACB=75°.∴∠CDE=∠CED,得CD=DE.3、延长AD于F连接FC使FC垂直ACAC=AB∠BAC=∠ACF∠ABE=∠CAE=ABMACF全等=AM=FC=MC∠AMB=∠DFCAB//FC=∠ABC=∠ACB=∠DCF∠ACB=∠DCFDC=DCMC=FC=∠DFC=∠CMD所以:∠AMB=∠CMD4、延长CD至E点，使DE=DB则,∠EDB=60°则△EDB为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）∠BED=60°DB=DE=BE,∠EBC=∠DBA则△EBC与△DAB全等EC=CD+DE=CD+DB=AD5、(1)连接CM。已知AC=BC因为∠ACB=90°，△ABC为等腰直角三角形。PF⊥BC，所以△PFB也是一个以∠PFB为直角的等腰直角三角形，PF=BF.又因为PE⊥AC,四边形CEPF为矩形，EC=PF=BF.又根据等边直角三角形的中线等于斜边的二分之一可知，CM=BM.∠ACM=∠FBM.综上△ECM和△FBM全等，ME=MF.∠EMC=∠FMB.∠CMF+∠FMB=90°，所以∠CMF+∠EMC=90°.即∠EMF=90°，ME⊥MF。(2)同理，CM=BM,CE=BF,∠MCE=∠MBF=135°（180-45），△MCE和△MBF是全等三角形，其他同上6、∠F+12∠C＝40°+12∠E∠F＝40°+12∠E－12∠C∵12∠C=180°－70°－∠A12∠E=180°－40°－∠A∴12∠E－12∠C=30°∴∠F=40°+30°=70°7、证明（1）∵△ABC和△DEC都是等边三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，BC=AC，CD=CE，∴△BCD≌△ACE，∴∠CBD=∠CAE，∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCN=∠ACM=120°，又∵BC=AC，∠CBD=∠CAE，∴△BCN≌△ACM，∴CM=CN。（2）∵△CDE是等边三角形，∴CD=CE。（3）∵△CDE是等边三角形，∴∠EDC=60°，∵∠ACB=60°，∴∠EDC=∠ACB，∴DE//BM。8、证明：因为∠BDC=120°，△ABC是正三角形，即∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°,∠DBC=∠DCB=30°所以∠DBC+∠ABC=90°，因为DE⊥MN于E，所以∠DEM=90°，因为DM是△DEM与△DBM的公共边，所以ME=MB(HL）即同理可证NE=NC