黄金分割法求极小值

黄金分割法02008202罗黎一黄金分割法基本思路黄金分割法适用于[a，b]区间上的任何单股函数求极小值问题，对函数除要求“单谷”外不做其他要求，甚至可以不连续。因此，这种方法的适应面非常广。黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间[a，b]内适当插入两点a1，a2，并计算其函数值。a1，a2将区间分成三段，应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，是搜索区间得以缩小。然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。二黄金分割法的基本原理一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分割法（0.618法）。该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，也易于人们所接受。黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间[a,b]内搜索极小点xmin的一种方法。它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间。具体步骤是：在区间[a,b]内取点：a1，a2把[a,b]分为三段。如果f(a1)f(a2)，令a=a1,a1=a2,a2=a+0.618*(b-a)；如果f(a1)f(a2)，令b=a2，a2=a1,a1=b-0.618*(b-a),如果｜(b-a)/b｜和｜(y1-y2)/y2｜都大于收敛精度ε重新开始循环。因为[a,b]为单峰区间，这样每次可将搜索区间缩小0.618倍，处理后的区间都将包含极小点的区间缩小，然后在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，将使搜索区[a,b]逐步缩小，直到满足预先给定的精度时，即获得一维优化问题的近似最优解。插入点原理图如下：三实验程序框图四matlab程序代码主程序：symsxaba3eh;a=input('搜索区间的第一点\a=');b=input('搜索区间的第二点\b=');e=input('搜索精度\ne=');disp('需求的优化函数f=f(x)，调用xmin=golden(f,a,b,e)');m文件：functionxmin=golden(f,a,b,e)k=0;a1=b-0.618*(b-a);%插入点的值a2=a+0.618*(b-a);whileb-ae%循环条件y1=subs(f,a1);y2=subs(f,a2);ify1y2%比较插入点的函数值的大小a=a1;%进行换名a1=a2;y1=y2;a2=a+0.618*(b-a);elseb=a2;a2=a1;y2=y1;a1=b-0.618*(b-a);endk=k+1;end%迭代到满足条件为止就停止迭代xmin=(a+b)/2;fmin=subs(f,xmin)%输出函数的最优值fprintf('k=\n');disp(k);五程序运行结果例如：f=x^2+2*x,给定搜索区间[-3,5],求此函数的极小点。1.首先运行主程序：2.会提示你输入各个变量的值：2.输完各个变量的值，以及所求函数后，再运行：xmin=golden(f,a,b,e)系统调用m文件的内容，这时候matlab就会输出函数的最优值。即该函数的最小值点在x=-1，最小点的函数值fmin=-1，一共经过了29次迭代。六实验心得通过此次实验对黄金分割法的基本思想有了一个全面的理解，原理比较简单，稍微复杂一点的就是缩小区间的时候怎么进行换名，另外一个难点就是如何用matlab来实现，此次实验通过自学相应的操作以及编程语言，最后完成了此次实验。