广东省东莞市高三第一次模拟试题(数学理)

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚=^_^=成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯~~~///(^v^)\\\~~~照亮人生▃▄▅▆▇██■▓广东省东莞市2009届高三理科数学模拟试题(一)命题人：东莞中学庞进发2009.3.10一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合要求的．1．下列四个函数中，在（0，1）上为增函数的是A．xysinB．xy2logC．xy)21(D．12yx2．如果复数iaaaaz)23(222为纯虚数，那么实数a的值为A．－2B．1C．2D．1或－23．已知),(,,2121RbaACbaAB，ba若是不共线的向量，则A、B、C三点共线的充要条件为A．121B．121C．0121D．11214．下图是2008年在郑州举行的全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A．84，4.84B．84，1.6C．85，4D．85，1.65．已知函数xxf2)(的反函数)(1xf满足4)()(11bfaf，则ba11的最小值为A．1B．31C．21D．416．如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为A．12B.22C.24D.47．两个正数a、b的等差中项是92，一个等比中项是25，且,ba则双曲线12222byax的离心率为A．53B．414C．54D．4158．已知20{(,)|}4yxyyx，直线2ymxm和曲线24yx有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为()PM，若2()[,1]2PM，则实数m的取值范围为A．1[,1]2B．3[0,]3C．3[,1]3D．[0,1]二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分．9．在72xx的展开式中，3x的系数是.（用数字作答）▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚=^_^=成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯~~~///(^v^)\\\~~~照亮人生▃▄▅▆▇██■▓10．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积为0的概率.11．如图，该程序运行后输出的结果为.12．已知点),(yxP满足条件yxzkkyxxyx3),(02,,0若为常数的最大值为8，则k.13．（几何证明选讲选做题）如图，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C做AD的垂线，垂足为B，CB与⊙O相交于点E，AE平分CAB，且2AE，则AB，AC，BC.14．(参数方程与极坐标选做题)在极坐标系中，点1,0到直线cossin2的距离为．15.（不等式选讲选做题）函数()3fxxx的最大值为.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（12分）设函数2()2cossin2()fxxxaaR．（1）求函数()fx的最小正周期和单调递增区间；（2）当[0,]6x时，()fx的最大值为2，求a的值，并求出()()yfxxR的对称轴方程．17.（12分）某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10﹪，可能损失10﹪，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为21，41，41；如果投资乙项目，一年后可能获利20﹪，也可能损失20﹪，这两种情况发生的概率分别为）（和1.（1）如果把10万元投资甲项目，用表示投资收益（收益=回收资金-投资资金），求的概率分布及E；（2）若把10万元投资投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求的取值范围.18.（14分）已知圆C方程为：224xy.OABCDE▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚=^_^=成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯~~~///(^v^)\\\~~~照亮人生▃▄▅▆▇██■▓（1）直线l过点1,2P，且与圆C交于A、B两点，若||23AB，求直线l的方程；（2）过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量OQOMON，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.19．（14分）如图，在长方体1,1,11111ABAAADDCBAABCD中，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为22.（1）求证：D1E⊥A1D；（2）求AB的长度；（3）在线段AB上是否存在点E，使得二面角41的大小为DECD。若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由.20．（14分）已知2()(2,)fxxaxaaxR，()xgxe，()()()xfxgx.（1）当1a时，求()x的单调区间；（2）求()gx在点(0,1)处的切线与直线1x及曲线()gx所围成的封闭图形的面积；（3）是否存在实数a，使()x的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由.21.（14分）设等差数列{},{}nnab前n项和nnST,满足127nnSAnTn，且37462825aabbbb，S2=6；函数1()12gxx，且11()(,1),1.nncgcnNnc（1）求A；（2）求数列}{}{nnca及的通项公式；（3）若.,)()(21nnnndddncnad试求为偶数为奇数▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚=^_^=成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯~~~///(^v^)\\\~~~照亮人生▃▄▅▆▇██■▓东莞市2009届高三理科数学模拟试题(一)参考答案一、选择题（每小题5分，共40分）题号12345678答案AACDCABD二、填空题（每小题5分，共30分）9.84；10.34；11.45；12.-6；13.3,23,3；14.22；15.3三、解答题（共80分．解答题应写出推理、演算步骤）16.解：（1）2()2cossin21cos2sin22sin(2)14fxxxaxxaxa则()fx的最小正周期2T，……………………………4分且当222()242kxkkZ时()fx单调递增．即3[,]()88xkkkZ为()fx的单调递增区间（写成开区间不扣分）．…………6分（2）当[0,]6x时724412x，当242x，即8x时sin(2)14x．所以max()21212fxaa．……………9分2()4228kxkxkZ为()fx的对称轴．……12分17.解：（1）依题意，的可能取值为1，0，-1………1分的分布列为…4分101p214141E=2141=41…………6分（2）设表示10万元投资乙项目的收益，则的分布列为……8分22p2422E…………10分依题意要求1424…11分∴9116………12分注：只写出916扣1分18.解：（1）①当直线l垂直于x轴时，则此时直线方程为1x，l与圆的两个交点坐标为3,1和3,1，其距离为32满足题意………1分▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚=^_^=成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯~~~///(^v^)\\\~~~照亮人生▃▄▅▆▇██■▓②若直线l不垂直于x轴，设其方程为12xky，即02kykx设圆心到此直线的距离为d，则24232d，得1d…………3分∴1|2|12kk，34k，故所求直线方程为3450xy综上所述，所求直线为3450xy或1x…………7分（2）设点M的坐标为00,yx（00y），Q点坐标为yx,则N点坐标是0,0y…………9分∵OQOMON，∴00,,2xyxy即xx0，20yy…………11分又∵42020yx，∴224(0)4yxy∴Q点的轨迹方程是221(0)416xyy，…………13分轨迹是一个焦点在x轴上的椭圆，除去短轴端点。…………14分19.解一：（1）证明：连结AD1，由长方体的性质可知：AE⊥平面AD1，∴AD1是ED1在平面AD1内的射影。又∵AD=AA1=1，∴AD1⊥A1D∴D1E⊥A1D1（三垂线定理）4分（2）设AB=x，∵四边形ADD1A是正方形，∴小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1可能有两种途径，如图甲的最短路程为4||21xAC如图乙的最短路程为221)1(|221xxxAC1x42222222xxxx22242xx………………9分（3）假设存在，平面DEC的法向量)1,0,0(1n，)1,2,0(1CD设平面D1EC的法向量),,(2zyxn，则yaxyz)2(2)2,1,2(2an…………………12分由题意得：2221)2(2,cos22221ann解得：3232aa或（舍去）.431的大小为二面角时为离即当点DEDD，BE………14分20.解：（1）当221,()(1),'()()xxaxxxexexx时.…（1分）'()0,01;'()0,10.xxxxx当时当时或……（3分）▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚=^_^=成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯~~~///(^v^)\\\~~~照亮人生▃▄▅▆▇██■▓∴()x的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为：(,0)，(1,).……（4分）（2）切线的斜率为0'(0)|1xxkge，∴切线方程为1yx.……（6分）所求封闭图形面积为1121000111[(1)](1)()|22xxxSexdxexdxexxe.……（8分）（3）22'()(2)()[(2)]xxxxxaeexaxaexax，……（9分）令'()0,02xxxa得或.……（10分）列表如下：x(－∞，0)0（0，2－a）2－a(2－a，+∞)'()x－0+0－()x↘极小↗极大↘由表可知，2()(2)(4)axaae极大.……（12分）设22()(4),'()(3)0aaaaeaae，∴()(,2)a在上是增函数，……（13分）∴()(2)23a，即2(4)3aae，∴不存在实数a，使()x极大值为3.……（14）21.解：（1）由52:5255827643babbabba知而52929255919199babbaaTS5279219A解得A=1……………………………………2分（2）令)1(nknSnnnSkSn22,1,6即得当n=1时，a1=S1=2,当n≥2时，an=Sn－Sn-1=n2+nnnn2)1()1(2综合之：an=2n…………………………………………6分由题意)1(211:)1(2111nnnncccc变形得∴数列{cn+1}是21为公比，以211c为首项的等比数列。1)21()21(2121nnnncc即………………………9分（3）当)()(,12242123121kkncccaaadddkn