《复数》知识点总结

第1页《复数》知识点总结1、复数的概念形如(,)abiabR的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足21i，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.(1)纯虚数：对于复数zabi，当00ab且时，叫做纯虚数.(2)两个复数相等：,()abicdiabcdR、、、相等的充要条件是=acbd且.(3)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，横轴为实轴，竖轴除去原点为虚轴.(4)复数的模：复数zabi可以用复平面内的点Z(,)ab表示，向量OZ的模叫做复数zabi的模，表示为：22||||zabiab（5）共轭复数：两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数.2、复数的四则运算（1）加减运算：()()()()abicdiacbdi；（2）乘法运算：()()()()abicdiacbdadbci；（3）除法运算：2222()()()()(0)acbdbcadabicdiicdicdcd；（4）i的幂运算：41ni，41nii，421ni，43nii.()nZ（5）22||||zzzz3、规律方法总结（1）对于复数(,)zabiabR必须强调,ab均为实数，方可得出实部为a，虚部为b（2）复数(,)zabiabR是由它们的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法．对于一个复数(,)zabiabR，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识（3）对于两个复数，若不全是实数，则不能比较大小，在复数集里一般没有大小之分，但却有相等与不等之分.（4）数系扩充后，数的概念由实数集扩充到复数集，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等第2页1、基本概念计算类例1．若,43,221iziaz且21zz为纯虚数，则实数a的值为_________解：因为，21zz＝25)46(83258463)43)(43()43)(2(432iaaiaiaiiiiaiia，又21zz为纯虚数，所以，3a－8＝0，且6＋4a0。38a2、复数方程问题例2．证明：在复数范围内，方程iiziz255)1(||2（i为虚数单位）无解证明：原方程化简为,31)1()1(||iziziz设z＝x＋yi(x、yR)，代入上述方程得3221.31222222yxyxiyixiyx整理得051282xx.016方程无实数解，所以原方程在复数范围内无解。3、综合类例3．设z是虚数，zz1是实数，且－12（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设zzM11，求证：M为纯虚数；（3）求2M的最小值。解：（1）设z＝a＋bi（a，b0,bR）,)()(12222ibabbbaaabiabia因为，是实数，0b所以，122ba，即|z|＝1，因为＝2a，－12，121a所以，z的实部的取值范围（－1,21）（2）zzM11＝1)1(21)1)(1()1)(1(112222abibabibabiabiabiabiabiabia（这里利用了（1）中122ba）。因为a（－1,21），0b，所以M为纯虚数第3页（3）2M112)1(12)1(22222aaaaaaaba3]11)1[(21212aaaa因为，a（－1,21），所以，a＋10，所以2M2×2－3＝1，当a＋1＝11a，即a＝0时上式取等号，所以，2M的最小值是1。4、创新类例4．对于任意两个复数Ryyxxiyxziyxz2121222111,,,(,)定义运算“⊙”为1z⊙2z＝2121yyxx，设非零复数21,在复平面内对应的点分别为21,PP,点O为坐标原点，若1⊙2＝0，则在21OPP中，21OPP的大小为_________.解法一：（解析法）设)0,(,21222111aaibaiba，故得点),(111baP，),(222baP，且2121bbaa＝0，即12211abab从而有2121OPOPkk＝12211abab故21OPOP,也即02190OPP解法二：（用复数的模）同法一的假设，知21212121||||baOP22222222||||baOP22121221221|)()(|||||ibbaaPP＝2121ba＋2222ba－2（2121bbaa）＝2121ba＋2222ba－2×0＝2121ba＋2222ba＝21||OP＋22||OP由勾股定理的逆定理知02190OPP解法三：（用向量数量积的知识）同法一的假设，知),(),,(222111baOPbaOP，则有0cos22222121212121bababbaaOPOP故02190OPP