第7章FIR数字滤波器的设计方法

81第7章FIR数字滤波器的设计方法IIR数字滤波器最大缺点：不易做成线性相位，而现代图像、语声、数据通信对线性相位的要求是普遍的。正是此原因，使得具有线性相位的FIR数字滤波器得到大力发展和广泛应用。1．线性相位FIR数字滤波器的特点FIRDF的系统函数无分母，为1010)()(NnnNiiiznhzbzH，系统频率响应可写成：10)()(NnjwnjwenheH，令)(jweH＝)()(wjewH，H(w)称为幅度函数，)(w称为相位函数。这与模和幅角的表示法有所不同，H(w)为可正可负的实数，这是为了表达上的方便。如某系统频率响应)(jweH＝wjwe34sin，如果采用模和幅角的表示法，w4sin的变号相当于在相位上加上)1(je因，从而造成相位曲线的不连贯和表达不方便，而用)()(wjewH这种方式则连贯而方便。线性相位的FIR滤波器是指其相位函数)(w满足线性方程：)(w＝w（,是常数）根据群时延的定义，式中表示系统群时延，表示附加相移。线性相位的FIR系统都具有恒群时延特性，因为为常数，但只有＝0的FIR系统采具有恒相时延特性。82问题：并非所有的FIR系统都是线性相位的，只有当它满足一定条件时才具有线性相位。那么应满足什么样的条件？从例题入手。例题：令h(n)为FIR数字滤波器的单位抽样相应。Nnn或0时h(n)=0，并假设h(n)为实数。（a）这个滤波器的频率响应可表示为)()()(wjjwewHeH（这是按幅度函数和相位函数来表示的，不是用模和相角的形式），)(wH为实数。（N要分奇偶来讨论）（1）当h(n)满足条件)1()(nNhnh时，求)(wH和)(w（w0）（2）当h(n)满足条件)1()(nNhnh时，求)(wH和)(w（w0）（b）用)(kH表示h(n)的N点DFT（1）若h(n)满足)1()(nNhnh，证明H(0)=0；（2）若N为偶数，证明当)1()(nNhnh时，H(N/2)=0。解：（a）10)()(NnjwnjwenheH（1）)1()(nNhnh，当N为奇数时，)11(1)1(0)11()1()1()0()(NjwjwNjwjwjweNheheNheheH21230)1()21(])[(NjwNnnNjwjwneNheenh21)21(230)21()21()21(])[(NjwNjwNnnNjwNnjweNheeenh83)(})21()]21(cos[)(2{))(230)21(wHeNhNnwnhewjNnNjw其中幅度函数：)(wH＝230)21()]21(cos[)(2NnNhNnwnh21'Nnn令得到)(wH＝)21('cos)21'(2121'NhwnNnhNn'nn令得到)(wH＝210211cos)21(2)21(cos)21(2NnNnwnnNhNhwnnNh210cos)(Nnwnna，)21()0(Nha，21,,2,1),21(2)(NnnNhna。所以)(jweH21021cos)(NnwNjwnnae，得出)(wH210cos)(Nnwnna，wNw21)(。得出第一类FIRDF的特点：恒相时延，相位曲线是过原点的曲线；可通过h(n)灵活设计幅度函数的零点位置；幅度函数对频率轴零点偶对称)()(wHwH，对点偶对称)2()(wHwH。（1）)1()(nNhnh，当N为偶数时，84)(jweH120)1(])[(NnnNjwjwneenh120)21()]21(cos[)(2NnNjwNnwnhe)()(wHewj其中)(wH＝120120]21)2(cos[)(2)]21(cos[)(2NnNnwnNwnhNnwnh令nNn2'得到)(wH＝2121')]21(cos[)()]21'(cos[)'2(2NnNnnwnbnwnNh，所以)(jweH2121)]21(cos[)(NnwNjnwnbe，得出)(wH21)]21(cos[)(Nnnwnb，wNw21)(。第二类FIRDF的特点：恒相时延，相位曲线是过原点的直线；幅度函数对频率轴零点偶对称)()(wHwH；幅度函数对频率轴点奇对称)2()(wHwH。由)(wH的连续性，点一定是幅度函数的零点。即w时，)(0)(0)]21(cos[zHHnw在z=-1处有零点；因此这类滤波器不适合高通或带阻滤波器。（2）)1()(nNhnh，当N为奇数时推导省略，结果是85)(wH211sin)(Nnwnnc，)21(2)(nNhncwNw212)(。第三类FIRDF的特点：恒群时延，有2附加相移，相位曲线是截距为2、斜率为21N的直线；幅度函数对零频点奇对称)()(wHwH，零频是)(wH的零点；对奇对称)2()(wHwH，也是)(wH的零点。（2）)1()(nNhnh，当N为偶数时推导省略，结果是)(wH21)]21(sin[)(Nnnwnd，)2(2)(nNhndwNw212)(。第四类FIRDF的特点：恒群时延，有2附加相移，相位曲线是截距为2、斜率为21N的直线；幅度函数对零频点奇对称)()(wHwH，零频是)(wH的零点；对偶对称)2()(wHwH。（b）kNwjweHkH2|)()(（1）0|)()0(wjweHH，当)1()(nNhnh，不论N为奇数还是偶数，)(jweH中都含有)(sinw项，0|)(0wjweH，所以0)0(H。86（2）)1()(nNhnh，N为偶数)(jweH12121)]21(cos[)(2NnwNjNnwnhe，wjweHNH|)()2/(，因为（21Nn）是21的奇数倍，因此)21(cos[Nnw＝0，即0)2/(NH。问题：FIRDF线性相位的条件是什么？总结四种FIRDF的特点：当h(n)为实数且偶对称时，FIRDF为恒相时延，相位曲线是一条过原点、以21N为斜率的直线。信号通过这类滤波器后，各种频率分量的时延都是21N。当N为奇数时，时延21N是整数，是采样间隔的整数倍，采样点时延后仍是采样点。但当N为偶数时，时延21N不是整数，采样点时延后就不在采样点位置上了，这在某些应用场合会带来一些意外的问题。同时，N为偶数时，点是幅度的零点，不能做高通、带阻滤波器。一般情况下，第一类FIRDF特别适合做各种滤波器。当h(n)为实数且奇对称时，FIRDF仅是恒群时延。相位曲线是一条截距为／2，以21N为斜率的直线。信号通过该滤波器产生的时延也是21N个采样周期，但另外对所有频率分量均有一个附加的90度的相移。单边带调制及正交调制正需要这种特性。因此这种滤波器特别适合做希尔伯特滤波器以及微分器。FIR滤波器的极点都在原点上，而h(n)是因果稳定的有限长序列，因此H(z)在有限z平面上是稳定的。线性相位FIRDF的零点有自己的特点：它们必定是互为倒数的共轭对。证明如下：)1()(nNhnh（线性相位）87)()(1)1(zHzzHN（z变换的性质）如果iz是一个零点，代入上式有)()(1)1(iNiizHzzH＝00iz0)(1izH必有，则1iz也是零点。因为零极点总是成共轭对出现（有理分式特性），所以*iz，*1)(iz也是零点。所以iz，*iz，1iz，*1)(iz都是零点。2．窗函数设计法因为10)()(NnnznhzH，对FIR系统而言，冲击响应就是系统函数的系数。因此设计FIR滤波器的方法之一可以从时域出发，截取有限长的一段冲击响应作为H(z)的系数，冲击响应长度N就是系统函数H(z)的阶数。只要N足够长，截取的方法合理，总能满足频域的要求。一般这种时域设计、频域检验的方法要反复几个回合才能成功。2.1设计原理设计目标：设计一个线性相位的FIRDF；已知条件：要求的理想频率响应)(jwdeH。)(jwdeH是w的周期函数，周期为2，可以展开成傅氏级数)(jwdeH＝88njwndenh)(，其中)(nhd是与理想频响对应的理想单位抽样响应序列。但不能用来作为设计FIRDF用的h(n)，因为)(nhd一般都是无限长、非因果的，物理上无法实现。分析：为了设计出频响类似于理想频响的滤波器，可以考虑用h(n)来近似)(nhd。窗函数的基本思想：先选取一个理想滤波器（它的单位抽样响应是非因果、无限长的），再截取（或加窗）它的单位抽样响应得到线性相位因果FIR滤波器。这种方法的重点是选择一个合适的窗函数和理想滤波器。例1：设截止频率为cw的理想FIR低通滤波器，其理想频响是)(jwdeH，其中称为采样延时。对应的)(nhd由下式求出：注意：)(nhd关于对称，这对设计线性相位的FIRDF很重要。为了从)(nhd中得到FIR滤波器，可以对)(nhd进行截取，如果要得到一89个线性相位、因果的FIR滤波器，则设截取后得到的h(n)的长度为M，h(n)一定满足这种操作称为“加窗”。h(n)可看作是)(nhd和)(nw的乘积)()()(nwnhnhd其中根据)(nw的不同定义，可得到不同的窗函数。在上例中称为矩形窗。在频域中，因果FIR滤波器响应)(jweH由)(jwdeH和窗响应)(jweW的周期卷积得到。即)(jweH)()(jwjwdeWeH。矩形窗的窗谱)(jweW＝2110)2/sin()2/sin(11)(NjwjwjwNNnjwnnjwnNewwNeeeenR，它的幅度函数90为)2/sin()2/sin()(wwMwW。当w很小时，2/)2/sin(2/)2/sin()(wNwNNwwNwW，这是一个][sinc函数，每隔N/2正负交替一次。由卷积定义得到)(jweHdeWeHwjjd)()(21)(ccccwwNj)(21]2/)sin[(]2/)sin[(212121)(21卷积结果如图7-8所示。比较加矩形窗后的低通频谱和理想低通频谱可得到以下结论：加窗使过渡带变宽，过渡带的带宽取决于窗谱的主瓣宽度。矩形窗情况下的过渡带宽是N/4。N越大，过渡带越窄、越陡；过渡带两旁产生肩峰，肩峰的两侧形成起伏振荡。肩峰幅度取决于窗谱主瓣和旁瓣面积之比。矩形窗情况下是8.95％，与N无关。工程上习惯用相对衰耗来描述滤波器，相对衰耗定义为])0(/)(lg[20])(/)(lg[20)(0HwHeHeHwAjjw这样两个肩峰点的相对衰耗分别是0.74dB和-21dB。其中（-0.0895）对应的点的值定义为阻带最小衰耗。以上的分析可见，滤波器的各种重要指标都是由窗函数决定，因此改进滤波器的关键在于改进窗函数。窗函数谱的两个最重要的指标是：主瓣宽度和旁瓣峰值衰耗。旁瓣峰值衰91耗定义为：旁瓣峰值衰耗＝20lg(第一旁瓣峰值／主瓣峰值)为了改善滤波器的性能，需使窗函数谱满足：主瓣尽可能窄，以使设计出来的滤波器有较陡的过渡带；第一副瓣面积相对主瓣面积尽可能小，即能量尽可能集中在主瓣，外泄少，使设计出来的滤波器的肩峰和余振小。但上