微分中值定理

第三章中值定理与导数的应用中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理（泰勒公式）431观察图形yxoabyxoabyxoab215第一节微分中值定理2:],[),(baxxfy:条件;),()2(内可导在ba).()()3(bfaf:结论;],[)1(上连续在ba).,(,0)(baf满足)(xf一、罗尔(Rolle)定理:)(满足若xf),,(ba则至少存在一点;],[)1(上连续在ba;),()2(内可导在ba).()()3(bfaf.0)(f使得:条件;),()2(内可导在ba).()()3(bfaf:结论;],[)1(上连续在ba).,(,0)(baf例如32)(2xxxf),1)(3(xx,]3,1[上连续在,)3,1(内可导在,0)3()1(ff且,0)1(f显然),1(2)(xxf).3,1(1xyo13121★罗尔定理的证明:,,)()(00处可导在内有定义在若xxUxf.0)(0xf则)),()()(()(),(000xfxfxfxfxUx或有且引理费马)Fermat(其证明见罗尔定理的证明过程.)1(mM若,],[)(连续在baxf.],[)(mMbaxf和最小值可取得最大值在.)(],,[Mxfbax有对则.0)(),,(xfbax有从而对),,(ba即.0)(f有.)2(mM若),()(bfaf,),(内取得有一个在区间最大值和最小值中至少ba).,(,)(baMf不妨设),()(fxf,0)()(fxf即有★罗尔定理的证明:,0x若xfxf)()(则有,0x若xfxf)()(则有xfxffx)()(lim)(0即xfxffx)()(lim)(0,)(存在f),()()(fff,0)(0)(ff且),()(fxf,0)()(fxf即有.0)(f,0,0,0,0注:罗尔定理是一个充分性定理.例如:.10,101,1)(xxxfy例题例1.015,)1,0(:5一个实根有且仅有方程内在证明xx证,15)(5xxxf设,]1,0[)(连续在则xf.3)1(,1)0(ff且由零点定理,知.0)(),1,0(00xfx使即方程在(0,1)内有实根.,),1,0(011xxx设另有,0)(1xf使,)(],,[10满足罗尔定理的条件关于xfxx使得至少存在一个),,(10xx.0)(f)1(5)(4xxf但,0矛盾,∴在(0,1)内f(x)有且仅有一个零点,.01xx不妨设),1,0(x即原方程在(0,1)内有且仅有一个实根.二、拉格朗日(Lagrange)中值定理),,(ba则至少存在一点,],[)1(上连续在ba,),()2(内可导在ba)(f使得yxoab罗尔定理yxoab.)()(abafbf:)(满足若xf),()()()()()(axabafbfafxfxF令证明::)(满足则xF,],[)1(上连续在ba,),()2(内可导在ba,0)()()3(bFaF:,知由罗尔定理),,(ba至少存在一点,0)(F使得.)()()(abafbff即二、拉格朗日(Lagrange)中值定理),,(ba则至少存在一点,],[)1(上连续在ba,),()2(内可导在ba)(f使得.)()(abafbf:)(满足若xf表达了函数在一个区间上的增量与函数在该区间内某点处的导数之间的关系.).)(()()(abfafbf◆拉氏中值公式(有限增量公式):则内可导在上连续在设,),(,],[)(2121xxxxxf使得至少存在一点),,(21xxabafbff)()()().()()()(1212xxfxfxf例1.)1ln(1,0xxxxx时证明当证),1ln()(ttf设,],0[)(上满足拉氏定理的条件在则xtf)0(),0)((xxf,11)(,0)0(),1ln()(ttffxxf,1)1ln(xx,0x又,111x,11111x,11xxxx.)1ln(1xxxx即)0()(fxf推论,)(,)(内的导数恒为零且在上连续在区间若IIxf.)(上是一个常数在区间则Ixf证,,2121xxIxx上任意两点为与设:,知则拉格朗日中值定理),()()()(1212xxfxfxf,21之间与位于其中xx,0)(f又由题知,0)()(12xfxf),()(21xfxf.,21推论成立的任意性知和由xx例2).11(2arccosarcsinxxx证明证]1,1[,arccosarcsin)(xxxxf设)11(11)(22xxxf且,0,]1,1[)(上的常值函数为xf0arccos0arcsin)0(f又20,2.)11(2arccosarcsinxxx,]1,1[)(上连续在则xf,)1,1(内可导在).(2cotarctan:xxarcx同理可证例3:)(),(满足若xgxf,],[)1(上连续在ba,),()2(内可导在ba,0)(),,()3(xgbax使得则至少存在一点),,(ba.)()()()()()(gfagbgafbf:证明,0)()(:)3(agbg知由)],()([)]()([)()()()()(afxfagxgagbgafbfxF令有且上满足罗尔定理的条件在则),,(,],[)(baxbaxF),()()()()()()(xfxgagbgafbfxF.0)(),,(:,Fba使得知由罗尔定理例3:)(),(满足若xgxf,],[)1(上连续在ba,),()2(内可导在ba,0)(),,()3(xgbax使得则至少存在一点),,(ba.)()()()()()(gfagbgafbf:证明,0)()(:)3(agbg知由)],()([)]()([)()()()()(afxfagxgagbgafbfxF令有且上满足罗尔定理的条件在则),,(,],[)(baxbaxF),()()()()()()(xfxgagbgafbfxF.0)(),,(:,Fba使得知由罗尔定理柯西(Cauchy)中值定理定理:有人给出如下证明),()()(fabafbf.)()()()()()(gfagbgafbf使得至少存在一个知由拉氏中值定理),,(:,ba),()()(gabagbg??为什么正确吗例3:)(),(满足若xgxf,],[)1(上连续在ba,),()2(内可导在ba,0)(),,()3(xgbax使得则至少存在一点),,(ba.)()()()()()(gfagbgafbf:证明,0)()(:)3(agbg知由)],()([)]()([)()()()()(afxfagxgagbgafbfxF令有且上满足罗尔定理的条件在则),,(,],[)(baxbaxF),()()()()()()(xfxgagbgafbfxF.0)(),,(:,Fba使得知由罗尔定理柯西(Cauchy)中值定理定理:有人给出如下证明),()()(fabafbf.)()()()()()(gfagbgafbf使得至少存在一个知由拉氏中值定理),,(:,ba),()()(gabagbg??为什么正确吗),(),(:xfYxgX考察参数方程].,[bax)(ag)(af)(g)(bg)(bf)(fXYo几何解释二阶行列式、三阶行列式的定义与计算(附录1，P339)dcba.bcad3512)1(5)3(2.1例如21)(2xfyx).()2(2xfyx◆二阶行列式xxxdxd1)1ln(2])1ln([22xx补充.1222xxx思考题.)1,0()(:,01221010至少有一个零点内在证明、已知nnnxaxaaxfnaaa?,0)(),4)(3)(2)(1()(1分别在何区间内有几个根问方程、已知xfxxxxxf.12)(:1210nnxnaxaxaxg考虑提示思考题提示或答案.)1,0()(:,01221010至少有一个零点内在证明、已知nnnxaxaaxfnaaa),()()3(,),()2(,],[)1(:)(bfafbabaxf内可导在上连续在若使得则至少存在一点),,(ba.),()2(;],[)1(:)(内可导在上连续在若babaxf使得则至少存在一点),,(ba:)(),(xgxf若;],[)1(上连续在ba;),()2(内可导在ba,0)()3(xg使得则至少存在一点),,(ba.)()()()()()(gfagbgafbf中值定理一览表罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理三、小结与教学要求：.)()()(abafbff.0)(f作业习题3-1:P1325,6,11(1,2),12.