排列组合知识点总结

排列组合二项式定理1，分类计数原理完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情）分步计数原理完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法2，排列排列定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素（被取出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。排列数定义；从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有排列的个数mnA公式mnA=!()!nnm规定0！=13，组合组合定义从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合组合数从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有组合个数mnCmnC=!!()!nmnm性质mnC=nmnC11mmmnnnCCC排列组合题型总结一．直接法1.特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择25A，其余2位有四个可供选择24A，由乘法原理：25A24A=2402．特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有35A=60，1不在千位时，千位有14A种选法，个位有14A种，余下的有24A，共有14A14A24A=192所以总共有192+60=252二间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法2435462AAA=252Eg有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352AC个，其中0在百位的有2242C22A个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数333352AC-2242C22A=432Eg三个女生和五个男生排成一排（1）女生必须全排在一起有多少种排法（捆绑法）（2）女生必须全分开（插空法须排的元素必须相邻）（3）两端不能排女生（4）两端不能全排女生（5）如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法二．插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。例3在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有11019AA=100中插入方法。三．捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种（3324AC）,2，某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（1928129AC）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C其余的就是19所学校选28天进行排列）四．阁板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例5某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种。分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有711C种五平均分推问题eg6本不同的书按一下方式处理，各有几种分发？（1）平均分成三堆，（2）平均分给甲乙丙三人3,52,4（3）一堆一本，一堆两本，一对三本（4）甲得一本，乙得两本，丙得三本（一种分组对应一种方案）（5）一人的一本，一人的两本，一人的三本分析：1，分出三堆书（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由顺序不同可以有33A=6种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有33222426ACCC=15种2，六本不同的书，平均分成三堆有x种，平均分给甲乙丙三人就有x33A种222642CCC3，123653CCC5，33A123653CCC五．合并单元格解决染色问题Eg如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）。分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5．下面分情况讨论:(ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素①③⑤的全排列数A44（ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得A44种着色法．（ⅲ）当2、4与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格①从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有AC3334种方法．由加法原理知：不同着色方法共有2ACA333444=48+24=72（种）练习1（天津卷（文））将3种作物种植在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共种（以数字作答）（72）123452,42．某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有种（以数字作答）．（120）图3图43．如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．（540）4．如图5：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是种（84）图5图65．将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共种（420）546132EDCBA4321DBCEA