06-0截面的几何性质

截面的几何性质重心G•重心一个物体的各部分都要受到重力的作用。从效果上看，我们可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫做物体的重心取直角坐标系如图•物体上各点以及重心的坐标如图示•目的：求出重心位置坐标对y轴应用合力矩定理ΔG1ΔG2ΔG3ΔGiΔGnGniinGGGGG121xzyCx1xnx2y1y2ynxcyc)()(iyyGmGm即因此同理，对x轴取矩可得将物体连同坐标轴旋转900，使得xoz平面成为水平面，对x轴应用合力矩定理，可得中心位置在z轴上的坐标iinncxGxGxGxGGx2211ΔG1ΔG2ΔG3ΔGiΔGnGxzyCx1xnx2y1y2ynxcycGxGxiicGyGyiicGzGziic若物体为均质等厚度的平面图形，厚度为t，密度为ρ，ΔG=ΔAtρg，代入重心计算公式，写成积分形式GxGxiicGyGyiicGzGziicAxdAgtAdAgtxxAAc)(AydAgtAdAgtyyAAc)(AzdAgtAdAgtzzAAc)(•关于物体重心位置的计算有以下规律：质量均匀分布的物体（均匀物体），重心的位置只跟物体的形状有关。有规则形状的物体，它的重心就在几何重心上。•例如：均匀细直棒的中心在棒的中点，均匀物体的重心在球心，均匀圆柱的重心在轴线的中点。不规则物体的重心,可以用悬挂法来确定。物体的重心,不一定在物体上。质量分布不均匀的物体，重心的位置除跟物体的形状有关外，还跟物体内质量的分布有关。载重汽车的重心随着装货多少和装载位置而变化。•静矩和形心静矩•微面积dA的坐标分别为y和z，则y·dA和z·dA分别称为微面积dA对于z轴和y轴的静矩。AzAySdAyAzSd•静矩是对某一坐标轴而言，同一平面对不同坐标轴的静矩不同；•静矩是代数量，可能为正、为负或者为零；•常用单位：mm3，m3。zyozyozyo判断图示截面对于坐标轴静矩的符号•例题计算图示三角形截面对于底边重合的x轴的静矩。•解分析：计算图示截面对于x轴的静矩Sx时，可取平行于x轴的狭长条，作为面积元素（其上各点y坐标相等），即dA=b(y)dy。由三角形相似可知b(y)=b/h(h-y)。因此dA=b/h(h-y)dyyoxb(y)hydyAxAySd6)(20200bhdyyhbydybdyyhhbyShkhxb•形心平面的形心就是图形的几何中心。平面形心坐标与静矩之间关系当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形心，则截面对该轴的静矩为零。AAzzAcdAAyyAcdAzScyAyScz•判断截面形心的位置当截面具有两个对称轴时，二者的交点就是该截面的形心•据此，可以很方便的确定圆形、圆环形、正方形的形心；只有一个对称轴的截面，其形心一定在其对称轴上，具体在对称轴上的哪一点，则需计算才能确定。均质物体的形心和重心重合ydy•例用积分法求二次抛物线y=x2的形心坐标•解选取坐标如图所示，将抛物线与坐标轴围成的图形分成无数与y轴平行的狭条，任一狭条宽度dx，高度y，面积dA=ydx同理可得简单图形形心位置可查表得到。yxoBDabxdxadxxdxxxydxxydxAAxxaaaaAc43d020200bdxxdxyayydxdyxayAAyyababAc103)()(d02000•组合截面的静矩由静矩的定义知：整个截面对某轴的静矩应等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和•组合截面的形心坐标公式注：被“减去”部分图形的面积应代入负值niciixyAS1niciiyxAS1形心坐标）个简单图形的面积及其分别为第和iyxAcicii,(;11niiniciicAyAy;11niiniciicAxAx0.2m•例题求图示T形截面形心位置。•解取参考坐标轴x、y,由图形对称,xc=0。分解图形为１、２两个矩形，则若分解为1，2，3三个矩形0.6m2.4mxy0.12m;2.1,48.0;46.2,072.0222121mymAmymA;36.148.0072.02.148.046.2072.0212211mAAyAyAyc12y2ycy1xy23mAAAyAyAyAyc36.14.04.26.052.22.14.04.226.16.052.23213322111•练习试计算图示截面形心C的位置801201010mm40mm20ccyx惯性矩、惯性积、惯性半径、极惯性矩•惯性矩yzoAdA(z,y)yz任意截面A中坐标为(z,y)处取一面积元素dA，则z2dA和y2dA分别称为改面积元素对于y轴和z轴的惯性矩。整个图形对y轴和z轴的惯性矩为。dAyIdAzIAzAy22面积元素dA与两坐标z，y的乘积zydA称为该面积元素对两坐标轴的惯性积。整个截面对z，y两个坐标轴的惯性积为：AzyzydAIyzoAdAyz惯性矩及惯性积是截面对其内平面内的定轴而言的。惯性矩恒为正值；惯性积可能：正、负、零。惯性矩和惯性积的单位m4，mm4。yzoyzoh/2h/2b/2b/2yzo面积元素dA与它到原点距离平方的乘积ρ2dA称为该面积的极惯性矩。在整个截面内积分，可得平面对坐标原点的极惯性矩AdAI2yzoAdA（z,y）yz222yzzyAAIIdAydAzI22结论：截面对任意相互垂直的坐标轴的惯性矩之和等于其对该两坐标轴交点的极惯性矩通常将惯性矩表示为截面面积与某一长度平方的乘积式中iz、iy分别称为截面对z轴和y轴的惯性半径。AiIAiIyyzz22AIiAIiyyzz•例题计算图示高h，宽b的矩形截面对z轴和y轴的惯性矩•解1、计算z轴惯性矩•取平行z轴的狭长条作为面积元素yzodyybdydAAzdAyI21232222222bhdyybbdyydAyIhhhhAz2、计算y轴惯性矩•取平行y轴的狭长条作为面积元素思考:•若截面是宽为b高度为h的平行四边形则其对形心轴x的惯性矩是多少yzohdzdAAydAzI21232222222hbdyzhhdyzdAzIbbbbAyzdzyzo•例题计算图示圆环形截面对O点的极惯性矩oyz•解计算极惯性矩取圆环微面积，面积上各点到原点的距离均为ρAdAI2ddA2))(1(32)(321)(21244444422DdDdDrRddAIRrA其中•例题计算圆形截面对其形心轴z的惯性矩。•解取微面积dA=2zdy图形对称圆形截面对其形心轴的极惯性矩与结论相符！dyzyyz;6442442222DRdyyRydAyIRRAz;644DIIzy324DIIIzyoR•小结惯性矩•矩形截面：对其形心轴•圆形截面极惯性矩•实心圆截面：•空心圆截面：123bhIz123hbIy644DIIyzyzyzohb;324DIP)();1(3244DdDIPyzRRr平行移轴公式•惯性矩和惯性积的平移轴公式yczcyzyzCbay1z1AAAAAzdAadAyadAydAyadAyI21212122)(AdAdAySdAyIAAZCAzc121其中AaIIzcz2因此AbIIycy2同理惯性矩的平移轴公式yczcyzyzCbay1z1AAAAAAzydAyzdAazdAbyabdAdAyazbzydAI111111))((惯性积微面积dA对z，y轴的惯性积zydA=(z1+b)(y1+a)dA其中zcycAycAzcAIdAyzSdAzSdAy1111因此abAIIzcyczy•以上就是惯性矩及惯性积的平移轴公式。•截面对任意截面截面的惯性矩等于截面对与该轴平行的形心轴的惯性矩，加上截面的面积与两轴距离平方的乘积。•截面对形心轴的惯性矩为最小！AaIIzcz2AbIIycy2abAIIzcyczy•例题计算如图所示矩形截面对z1，y1的惯性矩•解根据前面例题可知矩形截面对于其形心轴的惯性矩为利用平移轴公式y1z1hb123bhIz123hbIyzy321232321bhbhhbhAaIIzz321232321hbbhbhbAbIIyy•例题计算如图所示圆形截面(直径D)对z1，y1的惯性矩•解根据前面例题可知矩形截面对于其形心轴的惯性矩为利用平移轴公式y1z1644DIIyzzy164264422421DDDDAaIIzz•组合图形的惯性矩组合图形的对轴的惯性矩等于组成该图形的简单图形对该轴惯性矩之和。niznznzzzIIIII121niynynyyyIIIII121轴的惯性矩轴和形对组合截面中任一简单图—式中：yzIIyizi,•例题计算图示三角形对于z轴和zc轴的惯性矩Iz，Izc。•解取图示微元zbhydyb(y)h-y)()(yhhbyb12043)()(3432002bhhyhbybdyyyhhbdyybyIhhz由平行移轴定理Ch/3bh2h/3zzCAdIIzcz23623123232bhbhhbhAdIIzzc形心主惯性轴和形心主惯性矩•主惯性轴若截面对于任意的y轴和z轴的惯性积Iyz=0,则称这一对相互垂直的坐标轴为截面的主惯性轴，简称主轴。截面对于主轴的惯性矩称为主惯性矩。通过图形形心的主惯性轴称为形心主惯性轴，简称形心主轴图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。简称形心主矩；•形心主轴的确定由于图形对含有对称轴的一对正交轴的惯性积为零，而形心在对称轴上，图形的对称轴就是形心主轴。只讨论有对称轴的情形：•（1）图形只有一个对称轴时，则对称轴是一个形心主轴，通过形心与对称轴垂直的轴是另一个形心主轴；•（2）图形两个对称轴时，则两个对称轴是形心主轴，例如矩形；•（3）图形有三个或三个以上对称轴时，则任何形心轴都是形心主轴。且各形心主矩相等，圆形截面。平面图形要么只有一对形心主轴，要么任何形心轴都是形心主轴。只有这两种情形。zyCzyCzyC本章小结•重心计算•静矩及形心的计算•组合图形静矩和形心的计算GxGxiicGyGyiicGzGziicAyAzzdASydASASzASyyczcciiyciizzASyASiciiciciicAzAzAyAy•惯性矩、惯性积和极惯性矩•若y轴或（和）z轴为对称轴，则Iyz=0。•矩形、圆形的惯性矩要记住。•平行移轴公式•形心主轴位置的确定AyzAyAzyzdAIdAzIdAyI22zizyiyIIIIyzPIIIAaIIycy2AbIIzcz2abAIIyczcyz