第3章运动定理(3)力矩与角动量

经典力学（上）电子课件易凡[e-mail]第三章牛顿力学的运动定理及守恒律3.5力矩与角动量一．力矩定义：•设作用力F作用于空间P点，选取空间一确定点o为参照点，P点位矢为r，则力F对于o点力矩定义为LrFxzyoLrFmθdsinLFrFdLrF①力矩L为矢量，数值：方向：右手螺旋法则②力矩与参照点有关，不指明参照点，力矩无意义③L在直角坐标系下的描述()()()zyxzyxLyFzFizFxFjxFyFk()()()xzyyxzzyxLyFzFLzFxFLxFyF三个坐标分量sinLFrFd力矩的几点说明④Lx，Ly，Lz的意义•Lx=yFz－zFy；与x无关，作用力F对于x轴的力矩•Ly=zFx－xFz；与y无关，作用力F对于y轴的力矩•Lz=xFy－yFx；与z无关，作用力F对于z轴的力矩⑤力矩为0的条件•当F与r平行，或F的作用线过参考点o时，L＝0⑥单位与量纲•单位：牛顿·米•量纲：[L2MT-2]zyxLxFyFxzyoPrFxyF┴FyFx二．质点的角动量（AngularMomentum）定义：•空间一质点P，其质量为m，选取空间一确定点o为参照点，P点位矢为r，速度为v，则质点P相对于o点的角动量定义为JrmvrP①角动量为矢量，数值：方向：右手螺旋法则②角动量与参照点有关，选不同的参考点，角动量不相同；③J在直角坐标系下的描述sinsinJmvrrmv0xyzJJiJjJk角动量的几点说明•三个坐标分量()()()xzyyxzzyxJypzpJzpxpJxpyp⑥单位与量纲•单位：千克·米2/秒（kg·m2/s）•量纲：[L2MT-1]④Jx，Jy，Jz的意义•；与z无关，质点对于z轴的角动量()zyxJxpyp•；与y无关，质点对于y轴的角动量()yxzJzpxp•；与x无关，质点对于x轴的角动量()xzyJypzp例：质点m对于O’点的角动量2''sinJrmvmL22sinJrmvmL'sinJJ质点m对于O点的角动量Jrp例：圆周运动的质点关于圆心O的角动量SI：kg·m2/s,或J·s2Jrpmrvmr•微观体系的角动量是明显量子化的，其取值只能是普朗克常数的整数或半奇数倍。34210510/.Jsh•但因宏观物体的角动量比h大得多，所以宏观物体的角动量可以看作是连续变化的。orJvm三．质点的角动量定理设空间一质点m，受到作用力F，速度为v。相对于确定参照点o，位矢r；力矩为L，角动量J。考虑)0)(dJddrdmvrmvmvrdtdtdtdtdvdvvmvrmmvvrmdtdtdvvvrmrFLdt　　(三．质点的角动量定理质点的角动量定理（微分形式）dJLLdtdJdt　or质点的角动量定理（积分形式）000ttttLdtdJJJ　意义：力矩L作用于质点m在△t时间内的积累效果，导致质点的角动量发生改变。①该定理仅适用于惯性系，在非惯性系下，要考虑惯性力的力矩；②J、L必须相对于同一参考点；③参考点为固定点；④J并非与L有关，L导致J的变化；质点角动量定理的几点说明⑤角动量守恒•若L＝0，则有J＝J0（恒矢量），质点对o的角动量守恒；•L＝0的原因：F＝0；F与r的方向平行•若L≠0，但Lz＝0，则有Jz＝Jz0，质点对z轴的角动量为恒量例：F=0，质点m作匀速直线运动，必有JrmvAodrdrvr(t)r(t’)m22'rdrdscdrdsrvrcdtdt　面积速度为常量例：有心力场，因为0JJAdrdrr(t’)r(t)22'rdrdscdrdsrvrcdtdt　面积速度为常量rF，必有0L所以有s证明了开普勒第二定律：行星相对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积四．质点系的角动量定理定义：•在惯性系中，质点系内各个质点相对于某确定参照点的角动量的矢量和称为质点系对该点的角动量iiiiJJrmv选取固定参照点，对于任意质点mi，ir位矢：外力：iF内力：()ijjif速度：iv对每个质点应用角动量定理，有()iiijiiijdrFfrmvdtiiiijiiijdrFrfrmvdt即对所有质点求和，得到()iiiijiiiijiidrFrfrmvdt上式左边＝()iiiijiijirFrfijijijrrrf()0iijijijijiijrfrrf()()iijiijjjiijiijiijjijijijijijijjirfrfrfrfrfrfrff其中而iiiiirFLL（质点系的总力矩）上式右边＝iiiiiiiiiiddrmvrmvdtdtddJJdtdt质点系的角动量定理（微分形式），与质点的角动量定理形式一样可得dJLdt或LdtdJ①该定理仅适用于惯性系，在非惯性系下，要考虑惯性力的力矩；②内力的力矩对系统的总角动量无贡献，但它可以改变系统内各质点的角动量；③角动量定理的积分形式为00ttLdtJJ质点系角动量定理的说明④关于角动量守恒•若L＝0，则有J＝J0（恒矢量），质点对o的角动量守恒；•若L≠0，但Lz＝0，则有Jz＝Jz0，质点系对z轴的角动量守恒质点系角动量定理的说明盘状星系星云具有盘形结构：pc—秒差距，1pc=3.0861016m旋转的星云星球具有原始角动量00rmvkv·r0zL.zJconst00rmvrmv1oovrvrr星球惯性离心力：231vFmrr引力不能再使r减小。FF引，可以在引力作用下不断收缩。粗略的解释：r0v0·zm引力使r到一定程度r就不变了，但在z轴方向却无此限制，可近似认为引力：21Fr引五．质心系的角动量定理1.角动量的柯尼希定理在惯性系中，质点系相对确定参照点O的角动量等于系统质心相对O的角动量与系统内各质点相对质心的角动量之和cciciiciJrMvrmv角动量的柯尼希定理的推导iiiiJrmv在惯性系，对于一固定参照点O，各质点的位矢ri，速度为vi，质点组的角动量为,icicicicrrrvvv　则有cicicicicicciiciiiciciciiciiJrrmvvrmvrmvrmvrmv因为第一项cicciccciirmvrmvrMv第二项0ciicciiciirmvrmv第三项0iciciiccciirmvmrv0()iicciiciiiiicciimrmrrmrmrMrMrｃ　　　　角动量的柯尼希定理的推导第四项iciicirmv所以cciciiciJrMvrmv角动量的柯尼希定理的推导2.质心系的角动量的定理据质点组的角动量定理dJLdt而iiciciiiciiciiiciiciciciiiicciciiLrFrrFrFrFrFrFrFrFdvrMrFdtcciciicicccciciicicccciciicicciciicidJdrMvrmvdtdtdrdvdMvrMrmvdtdtdtdvdvMvrMrmvdtdtdvdrMrmvdtdt比较两边可得iciiciiciidrFrmvdt2.质心系的角动量的定理令,ciciciciiciiLrFJrmv　　则有ccdJLdt此式即为质心系的角动量的定理说明①一般质心系并非惯性系，质心也非固定点，但仍有角动量定理的形式（与惯性系中的形式相同）②在质心系中可不考虑重力矩2.质心系的角动量的定理