第一方案 高三一轮复习(文理通用)第二章 函数与基本初等函数(Ⅰ)第一节 函数及其表示

•(必修1：第一章函数概念；第二章基本初等函数(Ⅰ)；第三章函数的应用)•第一节函数及其表示•点击考纲•1.了解构成函数的要素，了解映射的概念．•2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．•3.了解简单的分段函数，并能简单应用.•关注热点•1.函数概念及其解析式、函数值、分段函数的考查是热点．•2.多以小题的形式出现，属低、中档题，常与几个基本初等函数的图象、性质综合命题.•1．函数与映射的概念函数映射两集合A、B设A、B是两个.设A、B是两个.对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的一个数x，在集合B中有的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的一个元素x在集合B中有的元素y与之对应非空数集非空集合任意唯一任意唯一确定函数映射名称称为从集合A到集合B的一个函数称对应为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B是一个映射f：A→Bf：A→B•1．函数与映射有哪些异同点？•提示：映射函数相同点对于f：A→B，都是A中每一元素都能在B中找到唯一元素与之对应不同点A、B可为数集、点集及其他集合A、B必须为非空数集作为A到B的映射，A为原象集合，C为象集合(C⊆B)作为A到B的函数，A为定义域，B不一定为函数的值域三要素：对应关系、原象集合、象集合(C⊆B)三要素：对应关系、定义域与值域•总之，函数是特殊的映射，当A、B是非空数集时，f：A→B的映射即为A到B的函数．•2．函数的有关概念•(1)函数的定义域、值域•在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．•(2)函数的三要素：、和．x的取值范围的集合函数值定义域值域对应关系•3．相等函数•如果两个函数的相同，并且完全一致，则这两个函数为相等函数．定义域对应关系•2．若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？•提示：不一定．如函数y＝x与y＝x＋1，其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y＝sinx与y＝cosx，其定义域都为R，值域为[－1,1]，显然不是相等函数．因此判断两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系．•4．函数的表示方法•表示函数的常用方法有：、和．•5．分段函数•若函数在其定义域的不同子集上，因不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．•分段函数的定义域等于各段函数的定义域的，其值域等于各段函数的值域的，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．解析法列表法图象法对应法则并集并集1．给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝x－3＋2－x是函数；③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；④f(x)＝x2x与g(x)＝x是同一个函数．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个•答案：A解析：由函数的定义知①正确．∵满足f(x)＝x－3＋2－x的x不存在．∴②不正确．又∵y＝2x(x∈N)的图象是一条直线上的一群孤立的点，∴③不正确．又∵f(x)与g(x)的定义域不同，∴④也不正确．•2．(2011·长春模拟)下列曲线•表示y是x的函数图象的是()•A．①②B．①③•C．①④D．②④•解析：由函数定义，①、②表示函数的图象．•答案：A•解析：当x1时，－x－1，•∴当f(x)＝2时，有3x＝2，x＝log32.•答案：log323．(2009·北京高考)已知函数f(x)＝3x，x≤1，－x，x1.若f(x)＝2，则x＝________.4．(2011·哈尔滨质检)已知函数f(x)＝bx2－3x，若方程f(x)＝－2x有两个相等的实根，则函数的解析式为__________________________________________________．解析：因为f(x)＝－2x，所以bx2－3x＝－2x，即6x2－(4＋b)x＝0.因方程有两个相等的实根，故b＝－4，则解析式为f(x)＝4x3x－2.答案：f(x)＝4x3x－2以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？(1)f1：y＝xx；f2：y＝1.(2)f1：y＝|x|；f2：y＝xx0，－xx0.(3)f1：y＝1x≤1，1x2，x≥2；f2：•(4)f1：y＝2x；f2：如图所示．•【思路导引】(3)中分别用解析法和列表法表示函数，(4)中分别用解析法和图象法．xx≤11x2x≥2y123•【解析】(1)不同函数．f1(x)的定义域为{x∈R|x≠0}，f2(x)的定义域为R.•(2)不同函数．f1(x)的定义域为R，f2(x)的定义域•为{x∈R|x≠0}．•(3)同一函数．x与y的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式．•(4)同一函数．理由同(3)．•【方法探究】(1)函数关系的判断要注意“每一个”、“都有”、“唯一”等关键词．•(2)构成函数的三要素是：定义域、值域和对应法则，而值域由定义域和对应法则可以确定．分析判断两函数是否为同一函数时，就从这三个方面进行分析，只有三者完全相同时才为同一个函数．1．以下四组函数中，表示同一函数的是()A．f(x)＝|x|，g(x)＝x2B．f(x)＝x2，g(x)＝(x)2C．f(x)＝x2－4x－2，g(x)＝x＋2D．f(x)＝x＋1·x－1，g(x)＝x2－1•答案：A解析：A中，g(x)＝x2＝|x|，故与f(x)表示同一函数．B中，f(x)的定义域为R，而g(x)的定义域为[0，＋∞)．C中，f(x)的定义域为{x∈R|x≠2}，而g(x)的定义域为R.D中，f(x)的定义域为{x|x≥1}，而g(x)的定义域为{x|x≥1或x≤－1}．•已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x.•(1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；•(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，求函数f(x)的解析表达式．•【思路导引】依据已知条件将x＝2和x＝0代入关系式即可求得f(1)，f(a)；对于f(x)解析式关键是求得x0，依据条件(2)求出x0即可．•【解析】(1)因为对任意x∈R有•f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，•所以f(f(2)－22＋2)＝f(2)－22＋2，•又f(2)＝3，从而f(1)＝1.•又f(0)＝a，•则f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a.•(2)因为对任意x∈R，•有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，•又有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，故对任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0.•在上式中令x＝x0，有f(x0)－x02＋x0＝x0.•又因为f(x0)＝x0，所以x0－x02＝0，•故x0＝0或x0＝1.•若x0＝0，则f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0.•若x0＝1，则有f(x)＝x2－x＋1，易验证该函数满足题设条件．•综上，函数f(x)的解析表达式为f(x)＝x2－x＋1(x∈R)．•【易错警示】解题中错误主要表现在：①函数的概念理解不深刻，第(2)问无从着手，②由x0＝0，x0＝1忽视条件f(x)＝x有惟一解，应代入验证，舍去x0＝0.•【方法探究】函数的表示有“列表、图象、解析式”三种形式．解析法是用y＝f(x)表示函数与自变量间的对应关系，确定解析式，关键是理解函数概念．常用求解析式的方法有：待定系数法、换元法、消元法等．2．(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式．(2)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)．(3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f(1x)x－1，求f(x)．解析：(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立．∴a＝2，b＋5a＝17，解得a＝2.b＝7.∴f(x)＝2x＋7.(2)法一：设t＝x＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)．法二：∵x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．(3)在f(x)＝2f(1x)x－1中，用1x代替x，得f(1x)＝2f(x)1x－1，将f(1x)＝2fxx－1代入f(x)＝2f(1x)x－1中，可求得f(x)＝23x＋13.(2011·大连模拟)已知函数f(x)＝cx＋10xc2－xc2＋1c≤x1，满足f(c2)＝98.(1)求常数c的值；(2)解不等式f(x)28＋1.•【思路导引】本题主要考查分段函数、方程及不等式等有关知识，求解分段函数有关问题时，应按分段函数定义分段求解．【解析】(1)因为0c1，所以c2c，所以满足f(c2)＝c3＋1.由f(c2)＝98，即c3＋1＝98，c＝12.(2)由(1)得f(x)＝12x＋10x122－4x＋112≤x1.由f(x)28＋1得，当0x12时，解得24x12；当12≤x1时，解得12≤x58.所以f(x)28＋1的解集为{x|24x58}．•【方法探究】(1)对于分段函数，一定要明确自变量所属的范围，以便于选择与之相应的对应关系；•(2)分段函数体现了数学的分类思想，相应的问题处理应分段解决．•3．(2009·浙江高考)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288超过50至200的部分0.598超过50至200的部分0.318超过200的部分0.668超过200的部分0.388•若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________(用数字作答)．•解析：设高峰用电200千瓦时，费用为a元；低谷用电100千瓦时，电费为b元．由电网销售电价表得：•a＝0.568×50＋(200－50)×0.598＝118.1(元)•b＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)•故该家庭本月应付的电费为a＋b＝148.4(元)．•答案：148.4已知函数对任意的实数a，b，都有f(ab)＝f(a)＋f(b)成立．(1)求f(0)，f(1)的值；(2)求证：f(1x)＋f(x)＝0(x≠0)；(3)若f(2)＝m，f(3)＝n(m，n均为常数)，求f(36)的值．•【思路导引】本题是一个抽象函数问题，直接求函数的解析式是不可能的，需通过取特殊值来解决．•(1)【解析】对a，b∈R，有f(ab)＝f(a)＋f(b)，•令a＝b＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，•∴f(0)＝0.•令a＝b＝1，得f(1)＝0.(2)证明：当x≠0时，∵x·1x＝1，于是f(1)＝f(x·1x)＝f(x)＋f(1x)＝0，∴f(1x)＋f(x)＝0.(3)∵f(2)＝m，f(3)＝n，∴f(36)＝f(22)＋f(32)＝2f(2)＋2f(3)＝2(m＋n)．•【方法探究】抽象函数是一个难点，解决抽象函数问题，要全面应用所具有的性质展开解题思路，通常方法是赋值法，并善于根据题目条件寻找该函数模型，帮助探求解题思路和方法．•4．如图①是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象．•(1)试说明图①上点A、点B以及射线A