第5章 结构优化的灵敏度分析

1车辆结构优化设计左文杰吉林大学机械学院信箱：[e-mail]研究方向：结构优化设计车身结构轻量化专用CAE软件开发2第5章结构优化的灵敏度分析5.1引言5.2静态灵敏度分析5.2.1差分法5.2.2直接解析法5.2.3伴随变量法5.2.4半解析法5.3动态（频率）灵敏度分析5.4车身扭转刚度灵敏度分析5.5车身弯曲刚度灵敏度分析5.6车身动刚度灵敏度分析5.7轿车车身灵敏度分析例子5.8客车车身灵敏度分析例子5.9板壳单元结构灵敏度分析5.10Optistruct灵敏度分析3ANINTEGRATEDAPPROACHFORTOPOLOGY,SIZINGANDSHAPEOPTIMIZATIONM.Zhou,N.Pagaldipti,H.L.ThomasandY.K.ShyyAltairEngineering,[e-mail]5.1引言推荐参考文献：4例子：25杆输电铁塔响应：节点1,2的位移12,uu设计变量：12325,,,...,xxxx5.1引言结构自由度数为3055.2静态灵敏度分析以静态灵敏度分析为例，静力学有限元平衡方程为：()()KxuxR响应：,,jjju设计变量x=尺寸优化：杆梁的横截面参数、壳的厚度、弹性和质量属性形状优化：节点位置拓扑优化：密度，弹性模量等6前奏：平方根法求解对称正定矩阵方程组Ku=R的计算量一、三角分解计算二、回带计算TLLuR2n计算量为结构自由度数nTKLL3/6n计算量为结构自由度数n5.2静态灵敏度分析75.2.1差分法()()iiiiixxxxxuuu(()())()iiiiiiixxxxxxxuuuu绝对灵敏度相对灵敏度原则：根据设计变量的量纲来选择不同的差分灵敏度分析方法。量纲一样选取绝对灵敏度分析方法；量纲不同选取相对灵敏度分析方法。vN1vN计算量分解次数回带次数1vN为设计变量个数需重新求解1次有限元方程Ku=R85.2.2直接解析法对平衡方程两边关于设计变量求导，ixiiixxxKuRuKiixxuKKu当外载荷R不随设计变量改变时，得到位移灵敏度的解析公式vN1计算量分解次数回带次数vN为设计变量个数()()KxuxR得9例子：计算，以桁架为例。()eeTeeKTKT2.eKK3.[()]()eeTeeeeTeiiiiiiixxxxKTKTKKTT4.1.1.1111eExlK,x为杆单元截面积4.2.0000()()ccccneeeTieijnnnjjjjeTejjjiiiiixxxxxKKTKTKKTT4.1式每个杆单元独享一个设计变量4.2式nc个杆单元共享一个设计变量，也叫组件灵敏度分析，更贴近工程5.2.2直接解析法ixK10例子：刚度矩阵组装的动画5.2.2直接解析法11对第i个设计变量的偏导数为可以表达为位移向量5.2.3伴随变量法jguQuTjjg静力学分析中，位移、应力的第j个响应的函数igixQuuQTjjTjiiigxxx响应将代入上式，得iixxuKKuQKuuuTjjTjiiigxxx其中KuQjjujQj向量与分别定义为伴随位移与伴随载荷。伴随变量法(adjointvariablemethod)121[1,0,0,...,0]TQ1Q为20个元素的列向量，第1个元素为1，其余都为0伴随变量法算例：25杆铁塔的位移灵敏度分析25杆桁架算例的伴随载荷为2[0,1,0,...,0]TQ2Q为20个元素的列向量，第2个元素为1，其余都为0当设计变量的个数远大于响应的个数时，采用该方法。11TiiuxxKuu11KuQ1u的灵敏度分解次数1伴随变量法计算量回带次数rN为响应的个数rN5.2.3伴随变量法135.2.4半解析法()()iiiiixxxxxKKK适用于形状优化：因为形状优化中刚度矩阵关于节点坐标的偏导数计算较为繁琐。Optistruct的HyperMorph工具处理形状优化。ShapeperturbationvectorscanbecreatedusingHyperMorph.145.3动态（频率）灵敏度分析2()iiKMu01TiiuMu22(2)()iiiiiikkkkxxxxuKMMuKM0结构振动的有限元方程（特征值方程）：特征值向量ui是关于质量矩阵M正则化(1)将(1)式对设计变量求xk导数，得(3)Tiu用左乘(3)式，并利用(1)式，得到频率灵敏度公式(2)21()2TiiiikikkxxxKMuu=0=0155.4车身扭转刚度灵敏度分析5.4.1车身扭转（Torsional）刚度定义WeiChen,WenjieZuo*.Componentsensitivityanalysisofconceptualvehiclebodyforlightweightdesignunderstaticanddynamicstiffnessdemands.InternationalJournalofVehicleDesign,2014.165.4车身扭转刚度灵敏度分析5.4.1车身扭转（Torsional）刚度定义arctan()TTMFBKuB扭转刚度：175.4车身扭转刚度灵敏度分析5.4.2车身扭转刚度灵敏度定义kTkTTkKxKSMMx=(),=()TTKKMMxx其中，111[,,,...,,,...,,,]jjjnnnbhtbhtbhtx185.4车身扭转刚度灵敏度分析5.4.3车身扭转刚度灵敏度求解kTkTTkKxKSMMx22arctan()[1()]TzkkKFuuuxxBBarctan()TTMFBKuB对设计变量求导数195.4车身扭转刚度灵敏度分析5.4.3车身扭转刚度灵敏度求解,TiiiikkuxxKuuKuQ11111ckckknnnnneTeeTiiikikiikkkkxxxxKTKTKKTT22arctan()[1()]TzkkKFuuuxxBB205.4车身扭转刚度灵敏度分析5.4.3车身扭转刚度灵敏度求解-梁单元刚度矩阵32323232200000000001261260000000(1)(1)(1)(1)126126000000(1)(1)(1)(1)0000000(4)6(2)0000(1)(1)(1zzzzyyyyyyyyzzzzxxzyyzyzzzeEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllGIGIllEIEIEIlllK232320)(4)(2)60000(1)(1)(1)00000126000(1)(1)126symmetry00(1)(1)00(4)0(1)(4)(1)yzyzzyyyzzyyyyzzxzyzyzyEIEIEIlllEAlEIEIllEIEIllGIlEIlEIl215.4车身扭转刚度灵敏度分析5.4.3车身扭转刚度灵敏度求解eeeeeyiiixiizkkxkykzkIIIAxAxIxIxIxKKKKK2()Athb236ythIhb236ztbIbh222xbhtIbh225.4车身扭转刚度灵敏度分析5.4.3车身扭转刚度灵敏度求解kTkTTkKxKSMMx1111kkcknnnejjjjnkjjjkkjjjkkkkkkmlAmAmMlxxxxxx235.5车身弯曲刚度灵敏度分析5.5.1车身弯曲（Bending）刚度定义bbbFKu弯曲刚度：245.5.2车身弯曲刚度灵敏度定义kBkBBkKxKSMMx5.5车身弯曲刚度灵敏度分析252()bbBkbkFuKxux5.5.3车身弯曲刚度灵敏度求解bbbFKu5.5车身弯曲刚度灵敏度分析265.6车身动刚度灵敏度分析5.6.1车身动刚度定义与求解21()2TiiiikikkxxxKMuu1keenjjikkxxMMeeeeejjjjyjxzkkxkykzkIIIAxAxIxIxIxMMMMM275.6车身动刚度灵敏度分析5.6.1车身动刚度定义与求解-梁单元质量矩阵22221407000000000004204201562254130000000420420420420156225413000000420420420420140700000000420420413300000420420420413300004204204201404201562242042015622symmetry420420140xxellllIIAAllllllAllM2242044204420xIAll285.7轿车车身灵敏度分析例子5.7.1轿车骨架灵敏度分析WeiChen,WenjieZuo*.Componentsensitivityanalysisofconceptualvehiclebodyforlightweightdesignunderstaticanddynamicstiffnessdemands.InternationalJournalofVehicleDesign,2014.295.7轿车车身灵敏度分析例子5.7.2轿车骨架扭转灵敏度分析结果305.7轿车车身灵敏度分析例子5.7.3轿车骨架弯曲灵敏度分析结果315.7轿车车身灵敏度分析例子5.7.4轿车骨架一阶频率灵敏度分析结果325.7轿车车身灵敏度分析例子5.7.5轿车骨架尺寸修改335.8客车车身灵敏度分析例子5.8.1客车骨架灵敏度分析345.8客车车身灵敏度分析例子5.8.2客车骨架扭转灵敏度分析结果355.8客车车身灵敏度分析例子5.8.3客车骨架弯曲灵敏度分析结果365.8客车车身灵敏度分析例子5.8.4客车骨架一阶频率灵敏度分析结果375.8客车车身灵敏度分析例子5.8.5客车骨架尺寸修改385.9板壳单元结构灵敏度分析壳单元+膜单元（平面应力单元）板单元=395.10Optistruct灵敏度分析灵敏度结果可输出到excel文件(设置OUTPUT,MSSENS)或者绘制到HyperGraph(设置OUTPUT,HGSENS).根据灵敏度结果，修改设计变量，代入响应的近似展开式，可得到新的响应值，不需要重新求解。