第二节 点的坐标与向量的坐标

ⅦⅡⅢⅥxyzⅤⅧⅣ一、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.•坐标原点•坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点o,o•坐标面•卦限(八个)面xoy面yoz1.空间直角坐标系的基本概念机动目录上页下页返回结束Ⅰxyzo向径在直角坐标系下11坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标:有序数组),,(zyx11)0,0,(xP)0,,0(yQ),0,0(zR)0,,(yxA),,0(zyB),,(zoxC(称为点M的坐标)原点O(0,0,0);rr机动目录上页下页返回结束M坐标轴:坐标面:机动目录上页下页返回结束xyzo向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点M,),,(zyxM则沿三个坐标轴方向的分向量.kzjyixr),,(zyxxoyzMNBCijkA,,,,,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为此式称为向量r的坐标分解式,r任意向量r可用向径OM表示.NMONOMOCOBOA机动目录上页下页返回结束二、利用坐标作向量的线性运算设),,,(zyxaaaa,),,(zyxbbbb则ba),,(zzyyxxbababaa),,(zyxaaa,0时当axxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量对应坐标成比例:，为实数机动目录上页下页返回结束例2.求解以向量为未知元的线性方程组ayx35byx23.211,212），，（），，（其中ba解:①②2×①－3×②,得bax32)10,1,7(代入②得)3(21bxy)16,2,11(机动目录上页下页返回结束例3.已知两点在AB直线上求一点M,使解:设M的坐标为如图所示ABMo11MAB及实数,1得11),,(212121zzyyxx即AMMBAMOAOMMBOMOBAOOM)(OMOBOMOBOA(机动目录上页下页返回结束说明:由得定比分点公式:,121xx,121yy121zz,1时当点M为AB的中点,于是得,221xx,221yy221zzABMoMAB11),,(212121zzyyxx中点公式:机动目录上页下页返回结束三、向量的模、两点间的距离222zyx),,,(zyxr设则有OMrxoyzMNQRP由勾股定理得因得两点间的距离公式:212212212)()()(zzyyxx对两点与,rOM作OMrOROQOP机动目录上页下页返回结束例4.求证以证:1M2M3M21MM2)47(2)31(2)12(1432MM2)75(2)12(2)23(631MM2)45(2)32(2)13(63132MMMM即321MMM为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点机动目录上页下页返回结束例5.在z轴上求与两点等距解:设该点为,),0,0(zM,BMAM因为2)4(212)7(z23252)2(z解得故所求点为及.),0,0(914M思考:(1)如何求在xoy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?离的点.机动目录上页下页返回结束提示:(1)设动点为,)0,,(yxM利用,BMAM得(2)设动点为,),,(zyxM利用,BMAM得且例6.已知两点和解:求141)2,1,3(142,141,143BABABA机动目录上页下页返回结束oyzx四.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)为向量ba,的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,r为其方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦称为其方向余弦.记作机动目录上页下页返回结束oyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz方向余弦的性质:机动目录上页下页返回结束例7.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:,21,23)20计算向量)2,1,1(222)2(1)1(2,21cos22cos,32,343(21MM机动目录上页下页返回结束例8.设点A位于第一卦限,解:已知角依次为,,43求点A的坐标.,,43则222coscos1cos41因点A在第一卦限,故,cos21于是(6,21,22)21)3,23,3(故点A的坐标为.)3,23,3(向径OA与x轴y轴的夹,6AO且OAOAAO第二节目录上页下页返回结束备用题解:因1.设,853kjim,742kjin求向量pnma34在x轴上的投影及在y轴上的分向量.13xa在y轴上的分向量为jjay7故在x轴上的投影为jip5,4k机动目录上页下页返回结束2.设求以向量行四边形的对角线的长度.该平行四边形的对角线的长度各为11,3对角线的长为解：为边的平机动目录上页下页返回结束mnnm,||nm)1,1,1(nm)1,3,1(nm3|nm11|nm,2kjn,jim