中考数学复习(七)：辅助线的添加

辅助线的添加【知识要点】平面几何是中学数学的一个重要组成部分，证明是平面几何的重要内容。许多初中生对几何证明题感到困难，尤其是对需要添加辅助线的证明题，往往束手无策。在这里我们介绍添加辅助线在平面几何中的运用。一、三角形中常见辅助线的添加1.与角平分线有关的ⅰ可向两边作垂线。ⅱ可作平行线，构造等腰三角形ⅲ在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形2.与线段长度相关的ⅰ截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可ⅱ补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可ⅲ倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。ⅳ遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。3.与等腰等边三角形相关的ⅰ考虑三线合一ⅱ旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60二、四边形特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.1、和平行四边形有关的辅助线作法平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.ⅰ.利用一组对边平行且相等构造平行四边形ⅱ．利用两组对边平行构造平行四边形ⅲ．利用对角线互相平分构造平行四边形2、和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.ⅰ.作菱形的高；ⅱ．连结菱形的对角线.3、与矩形有辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种：ⅰ.计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；ⅱ．证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.4、与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.5、与梯形有关的辅助线的作法和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；（4）延长两腰构成三角形；（5）作两腰的平行线等.三、圆1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。2．遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。3．遇到90度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，可得到直径。4．遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。5．遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。（2）常常添加连结圆上一点和切点作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。6．遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。作用：若OA=r，则l为切线。（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）作用：只需证OA⊥l，则l为切线。（3）有遇到圆上或圆外一点作圆的切线7．遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。作用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；②垂直关系；③全等、相似三角形。8．遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质，可得：①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；②内心到三角形三条边的距离相等。9．遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。10．遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题）常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。作用：①利用切线的性质；②利用解直角三角形的有关知识。11．遇到两圆相交时常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。作用：①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识；②利用圆内接四边形的性质；③利用两圆公共的圆周的性质；④垂径定理。12．遇到两圆相切时常常作连心线、公切线。作用：①利用连心线性质；②切线性质等。13．遇到三个圆两两外切时常常作每两个圆的连心线。作用：可利用连心线性质。14．遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时常常添加辅助圆。作用：以便利用圆的性质。【历年考卷形势分析及中考预测】平面几何是历年来中考和竞赛的必考内容，其题目的灵活性远远是代数题目所不能比拟的，从简单的选择填空到较为复杂的中考压轴题甚至竞赛中的压轴题，出题范围极为广泛，难易程度差距较大，对于学生的数学知识综合运用能力考察较多。纵观近6年广州市的中考试题，分值分布大约在60分左右，其中简单的题目大约占43分，其余的17分较难，每年必有一道几何压轴题，分值14分，经常和实际问题，动点问题及函数问题结合，难度较大，应引起同学们的高度重视。题目难主要难在辅助线的添加，尤其像特殊四边形及圆中的问题，从中考考纲来看，年广州市中考命题，同往年相比，变化不大，压轴题中可能会以三角形或四边形结合动点问题给出，或者以圆中相关知识为背景，结合动点，函数问题给出，区分度较大。【考点精析】考点1.三角形：例1如图，AB=CD，E为BC中点，∠BAC=∠BCA，求证：AD=2AE。例2如图，ABAC,∠1=∠2，求证：AB－ACBD－CD。例3如图9—5，设O是正三角形ABC内一点，已知∠AOB=115°，∠BOC=125°。求以线段OA，OB，OC为边构成的三角形的各角。例4如图所示，△ABC是边长为4的正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB，AC于M，N两点，连结MN，求△AMN的周长.【举一反三】1、如图，AB=6，AC=8，D为BC的中点，求AD的取值范围。12ACDBABECD图9—5BACOABCDMNABCD682、如图，BCBA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求证：∠A+∠C=180。3．如图9—21，设O是正三角形ABC内一点，已知∠AOB=80°，∠BOC=135°，求以线段OA、OB、OC为边构成的三角形的各角。考点2.四边形：例5如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.求证:OE与AD互相平分.例6如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.BOAC图9—21BDCA例7如图7，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求PD的长.例8如图，在正方形ABCD中，E为内部一点且BCE是正三角形，求AED的度数例9如图，AB∥CD，M、N分别为AD、BC中点，MN交AC、BD于G、H点。求证：GH=12（CD－AB）ADCBMNHGABCDE【举一反三】1.如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.2.如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长.3．如图：正方形ABCD，AE+CF=EF，求证：45EDFAEBFCD4、如图③，已知梯形ABCD中，AD=1.5cm，BC=3.5cm，对角线AC⊥BD，且BD=3cm，AC=4cm，求梯形ABCD的面积。考点3.圆：例10（江苏泰州，18，3分）如图⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为2,1cmcm，则试求弦AC、BD所夹的锐角．例11(年安徽芜湖市)如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，试求BC的长为.例12．（山东临沂）如图,AB是半圆的直径,O为圆心,AD、BD是半圆的弦，且PDAPBD.(1)判断直线PD是否为O的切线，并说明理由；(2)如果60BDE，3PD，求PA的长。例13．（江苏宿迁）（本题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切⊙O于点D，连结CD交AB于点E．求证：（1）PD=PE；（2）PBPAPE2．【举一反三】1．（番禺一模）已知：如图12，在RtABC△中，90C，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与ACAB，分别交于点DE，，且CBDA．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若2ADBD，求⊙O的面积．2.（天河一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE。（1）求证：AC＝AE；（2）求△ACD外接圆的半径。•PBAEOCDOEDCBA图12ACBDE3．（荔湾十校一模）如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B.（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.综合例14．（宁夏回族自治区）在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M．(1)判断四边形AEMF的形状，并给予证明．(2)若BD=1，CD=2，试求四边形AEMF的面积．例15．（河北）观察思考某种在同一平面进行传动的机械装置如图14-1，图14-2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米．解决问题（1）点Q与点O间的最小距离是分米；点Q与点O间的最大距离是分米；ABCD图14-1连杆滑块滑道ABCDO•PBAEOCD点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是分米．（2）如图14-3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？（3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是分米；②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．【举一反三】1.（年宁德市）（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶当AM＋BM＋CM的最小值为13时，求正方形的边长.HlO图14-3P（Q）HlOPQ图14-2EADBCNM2．（广雅一模）平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6），D是BC边上的动点（与点B、C不重合）．如图②,将△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，将△BDE沿DE翻折，