第二章简单回归模型

第二章简单回归模型回归的历史含义F.加尔顿最先使用“回归（regression）”。父母高，子女也高；父母矮，子女也矮。给定父母的身高，子女平均身高趋向于“回归”到全体人口的平均身高。简单回归模型的定义回归的现代释义回归分析用于研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。关注对象：（1）用x来解释y（2）研究y如何随x而变化商品需求函数：policecrime警察和犯罪率：bPaQ除x外其他影响y的因素如何处理？y和x函数关系如何设定？简单回归的几个问题：y=0+1x+uLAKQ扰动项u的引入。x和y的非线性关系怎么办？生产函数：yx因变量(dependentV.)自变量(independentV.)被解释变量(explainedV.)解释变量(explainatoryV.)响应变量(responseV.)控制变量(controlV.)被预测变量(predictedV.)预测变量(predictorV.)回归子(regressand)回归元(regressor)u误差项（errorterm)扰动项、干扰项（disturbance）两个例子yield=0+1fertilizer+uwage=0+1educ+u其他因素不变，u=0，则：1=yield/fertilizer1=wage/educ变化解释变量fertilizer或educ时，能假定其他因素不变吗？解释变量x和扰动项u关于均值独立：均值独立比“不相关”更强相关关系度量的是变量间的线性关系。若x表示受教育水平，u是个人能力，假定可能成立吗？关于u的假定E(u|x)=E(u)对于模型：如方程包含常数项，可以假定：若E(u)=a0，可将模型调整为：零条件均值假定：y=0+1x+uE(u)=0y=0+a+1x+u1E(u|x)=0总体回归函数（PRF）E(y|x)=0+1xPRF是确定的，未知的总体回归函数（传统思路）假想案例总体回归函数的随机设定随机误差项的意义XY80100120140160180200220240260556579801021101201351371506070849310711513613714515265749095110120140140155175708094103116130144152165178758598108118135145157175180－88－113125140－160189185－－－115－－－162－191户数5657665765总支出32546244570767875068510439661211假设一个国家只有60户居民，他们的可支配收入和消费支出数据如下（单位：美元）：假想案例描出散点图发现：随着收入的增加，消费“平均地说”也在增加，且Y的条件均值均落在一根正斜率的直线上。这条直线称为总体回归线。E(Y|Xi)=0+1Xi=17.00+0.6Xi“天行有常，不为尧存，不为桀亡。应之以治则吉，应之以乱则凶。”---荀子《天论》E(Y|Xi)=0+1Xi总体回归函数其中：Y——被解释变量；X——解释变量；0，1—回归系数（待定系数或待估参数）总体回归模型的随机设定对于某一个家庭，如何描述可支配收入和消费支出的关系?XiYi.........E(Y|Xi)=0+1XiY1Y2Y3u1u2u3—总体回归直线ui＝Yi-E(Y|Xi)—误差项某个家庭的消费支出分为两部分：一是E(Y|Xi)=0+1Xi，称为系统成分或确定性成分；二是ui，称为非系统或随机性成分。Yi=E(Y|Xi)+ui=0+1Xi+uiYi=0+1Xi+uiE(Y|Xi)=0+1Xi,随机性总体回归函数确定性总体回归函数随机误差项u的意义反映被忽略掉的因素对被解释变量的影响。或者理论不够完善，或者数据缺失；或者影响轻微。模型设定误差度量误差人类行为内在的随机性普通最小二乘法对于一元回归模型：两个条件：两个未知数：所有的yi和xi都是已知数据。E(u)=0E(u|x)=0E(xu)=0yi=0+1xi+ui0和1方程组：用样本矩代替总体矩：E(y-0-1x)=E(u)=0E[x(y-0-1x)]=E(xu)=00)ˆˆ(1101niiixyn0)ˆˆ(1101niiiixyxn21)())((ˆxxyyxxiiixy10ˆˆ当满足条件：OLS估计量：0)-(12niixx实际上就是y和x的样本协方差与x的样本方差之比。1ˆ的情况：0)-(12niixxiixy10ˆˆˆ拟合值：•给定截距和斜率估计值，y在x=xi时的预测值•该函数为样本回归函数（SRF）残差：iyˆiiiiixyyyu10ˆˆˆˆiuˆ4060801001201401601802004080120160200240280XY普通最小二乘法（传统思路）如何得到一条能够较好地反映这些点变化规律的直线呢？Q=niiu12ˆ=niiixy1210)ˆˆ(通过Q最小确定这条直线，即确定，以为变量，把它们看作是Q的函数，就变成了一个求极值的问题，可以通过求导数得到。10ˆ,ˆ10ˆ,ˆ残差的平方和最小求Q对两个待估参数的偏导数：0ˆQ0)1()ˆˆ(2110niiixy1ˆQ0)()ˆˆ(2110iniiixxy0ˆ0ˆiiiuxu即XY8010012014016018020022024026055——————135137—60——93107115————6574—95110120—140—175——94103——144——17875—98108—135——175—－88－113125—－—189—－－－115－－－162－191户数4226331333总支出255162192627342370144337501544样本回归函数为研究总体，我们需要抽取一定的样本。第一个样本样本回归线样本均值连线XY80100120140160180200220240260—6579—102—120135——60708493—115——145152—7490—————155——80——116—144152165—7585——118—145——180－—－——140－160189185－－－115－－－—－—户数2532323343总支出135374253208336255409447654517样本回归函数第二个样本样本回归线样本均值连线总体回归模型和样本回归模型的比较几个例子首席执行官的薪水和股本回报率？工资和受教育程度投票结果与竞选支出：educwage54.090.0shareAvoteA464.081.26Xiyiy1y2y3u1u2u3E(y|xi)=0+1xiiixy10ˆˆˆ注意：分清几个关系式和表示符号（2）样本（估计的）回归直线：（3）总体（真实的）回归模型：（4）样本（估计的）回归模型：（1）总体（真实的）回归直线：iiiuxy10iixxyE10)|(iiiuyyˆˆˆ10iixy10ˆˆˆui——随机误差项——残差项1ˆu2ˆu3ˆuiuˆOLS操作技巧（1）残差和及样本均值都等于零0ˆtuOLS估计量代数性质=)ˆ,(ˆiiuxvoC))(ˆˆ(1xxuunii=1ˆˆ(-)0iiiuxuxn（2）回归元和残差的样本协方差为零（3）总在OLS回归线上xy10ˆˆ),(yx（4）拟合值的样本均值等于yi的样本均值yynuynynyiiiiˆˆ)ˆˆ(111iyˆ0)ˆ,ˆ(iiuyCov（5）拟合值和残差的样本协方差为零........iixy10ˆˆˆyxyxyiiyˆxiAyyiiiyyˆyyiˆ0yyi=yyiˆ+总离差=回归差+残差回归差：由样本回归直线解释的部分残差：不能由样本回归直线解释的部分可以证明:222ˆˆ()()()iiiiyyyyyy离差平方和分解iiyyˆ222)ˆ(ˆ)(yyuyyiii)ˆ(ˆ2)ˆ(ˆ)ˆ)(ˆ(2)ˆ()ˆ()ˆ(22222yyuyyuyyyyyyyyyyiiiiiiiiiii总平方和＝解释平方和＋残差平方和SST=SSE+SSRyyi=yyiˆ+iiyyˆ0ˆˆˆ)ˆ(ˆiiiiiuyyuyyu•利用性质（1）和性质（5）：SSTSSE＋SSTSSR=1解释平方（SSE）和在总平方和（SST）中所占的比重越大，说明样本回归模型对样本数据拟合的程度越好。因此，用来表示拟合优度的可决系数定义为：R22222)(ˆSSTSSR1)()ˆ(SSTSSEyyuyyyyiiiiR2的取值范围是[0，1]。对于一组数据，TSS是不变，所以ESS↑（↓），RSS↓（↑）拟合优度与判定系数（可决系数）R2=0时表明解释变量x与被解释变量y之间不存在线性关系；R2=1时表明样本回归线与样本值重合；一般情况下，R2越接近1表示拟合程度越好，x对y的解释能力越强；看似很低的R2值，并不意味着OLS回归方程没有用！R2=222122122)()(ˆ)()](ˆ[)()ˆ(yyxxyyxxyyyyiiiiii=2222)()()())((yyxxxxyyxxiiiii222()()()()iiiixxyyxxyy==(R)2度量单位和函数形式改变度量单位对OLS估计量的影响0132.0501.18191.9632Rroesalary首席执行官的薪水和股本回报率？•若salarydol=1000salary，即将薪水单位由千美元调整为美元，模型估计结果为：0132.0185019631912Rroesalarydol•若股本回报率由百分比调整为小数，即roedoc=roe/100，模型估计结果为：0132.01.18509631912Rroedecsalary•若将薪水单位调整为美元，股本回报率调整为小数，模型估计结果？•判定系数R2为什么不变？弹性度量：双对数模型yt=axtb两侧同取对数，加入扰动项：Lnyt=Lna+bLnxt+ut令a*=Lna，yt*=Lnyt，xt*=Lnxt，上式表示为yt*=a*+bxt*+ut•Cobb-Douglas生产函数Q=ALK模型的非线性双对数模型与线性模型的区别双对数模型中斜率系数b为y对x的弹性E：Lnyt=a*+bLnxt+utb=E=线性模型中斜率系数b为x对y的边际影响：yt=a+bxt+utb=dy/dx从而弹性E=(dy/dx)(x/y)=b(x/y)双对数模型中弹性E是不变的，线性模型中弹性随着x/y的变化而变化。dxdyyxxdydlnln增长率测度：半对数模型Lnyt=a+bxt+utb反映x一单位变动导致y的相对变动：当x表示时间时，b为y的增长率。令yt=y0(1+r)t两侧同时取对数：Lnyt=Lny0+tLn(1+r)当r很小时，b=Ln(1+r)≈rdxydydxydbln人力资本研究中，通常会使用半对数模型：这里wage为工资收入，edu为受教育年限，ability为能力，work为工作经验。引入work2是因为人们通常认为存在最优工作年限！半对数模型中，参数1的含义为：1=如果使用线性模型，即被解释变量为wage，则参数1的含义为iuworkworkabilityeduwage