数学物理方法12格林函数

第十二章格林函数法格林（Green）函数，又称为点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念．格林函数代表一个点源在一定的边界条件下和初始条件下所产生的场．知道了点源的场，就可以用叠加的方法计算出任意源所产生的场．格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一．一、格林公式T上具有连续一阶导数,在区域及其边界()ur()vr和中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理TdddTTdivASAV=AV(12.1.1)将对曲面的积分化为体积分12.1泊松方程的格林函数法d()dddTTTuuVuVuVSvvvv()uvuvuv以上用到公式称上式为第一格林公式．同理有d()dddTTTuuVuVuVSvvvv上述两式相减得到()d()dTuuuuVSvvvvn表示沿边界的外法向偏导数．称为第二格林公式．进一步改写为()d()dTuSuuVnvuvvvn二、泊松方程的格林函数法1、讨论具有一定边界条件的泊松方程的定解问题．泊松方程()()ufrr边值条件[]()uunr()r是区域边界上给定的函数.是第一、第二、第三类边界条件的统一描述典型的泊松方程（三维稳定分布）边值问题()()[]()ufuunrrrn表示边界面上沿界面外法线方向的偏导数泊松方程第一类边界条件：第一边值问题(狄里希利问题)第二类边界条件：第二边值问题(诺依曼问题)第三类边界条件：第三边值问题2、格林函数的引入及其物理意义引入：为了求解泊松方程的定解问题，我们必须定义一个与此定解问题相应的格林函数0(,)Grr它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类条件：(,)()[]0GGGn00rrrr()0rr代表三维空间变量的函数，在直角坐标系中其形式为0000()()()()xxyyzzrr格林函数的物理意义：0r在区域T内部处放置一个点源，而在该区域T的界面上为零的条件下,那么该点点源在区域T内r处产生的场，由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函数为点源函数．格林函数互易定理：因为格林函数0(,)Grr代表0r处的点源在r处所产生的影响（或所产生的场）,所以它只能是距离0||rr的函数,故它应该遵守如下的互易定理：00(,)()GG,rrrr()()[]()ufuunrrr()d()dTuSuuVnvuvvvn根据格林第二公式令0(,)Grrv得到()(())d(()())dTGuuGSuGGuVnrrrrndVrfrrGdVrrruTT)(),()()(00(,)()[]0GGGn00rrrr根据函数性质有：00()()]d()TuVurrrr故有0000(,)(()(,)()d[(,)()]dTGuuGfVGuSnrrr)rrrrrrrn称为泊松方程的基本积分公式．0000000000((,)()(,)()d[(,)()]dTuGuGfVGuSnr)rrrrrrrrrn格林函数满足互易定理并利用格林函数的对称性则得到考虑格林函数所满足的边界条件讨论如下：1.第一类边值问题：()()|()ufurrr相应的格林函数0(,)Grr是下列问题的解：000(,)(-)(,)|0GGrrrrrr0000000000((,)()(,)()d[(,)()]dTuGuGfVGuSnr)rrrrrrrrrn考虑到格林函数的齐次边界条件，第一类边值问题的解000000),()()(),()(dSnrrGrdVrfrrGruT2.第二类边值问题()()|()pufunrrr相应的格林函数0(,)Grr是下列问题的解：000(,)(-)(,)|0GGnrrrrrr由公式可得第二类边值问题解0000000000((,)()(,)()d[(,)()]dTuGuGfVGuSnr)rrrrrrrrrn00000),()()(),()(dSrrGrdVrfrrGruT3.第三类边值问题()()[]()pufuunrrr相应的格林函数0(,)Grr是下列问题的解：000(,)(-)(,)[]0GGGnrrrrrr泊松方程的边值条件，两边同乘以格林函G0000000000((,)()(,)()d[(,)()]dTuGuGfVGuSnr)rrrrrrrrrn格林函数的边值条件的两边同乘以函数u得[]0GuGn相减得到[]uGGuGnn[]()puGuGnr代入（14.2.9）得到第三类边值问题的解000001()(,)()d()(,)d0TuGfVGSrrrrrrr这就是第三边值问题解的积分表示式．右边第一个积分表示区域T中分布的源0()fr在r点产生的场的总和.第二个积分则代表边界上的状况对r点场的影响的总和．两项积分中的格林函数相同．这说明泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的场．对于拉普拉斯方程0()0fr第一边值问题的解为0000(,)()()]dGuSrrrrn第三边值问题的解为0001()()(,)duGSrrrr12.2无界空间的格林函数基本解无界区域这种情形公式中的面积分应为零，故有0000()(,)()dTuGfVrrrr选取()ur和0(,)Grr分别满足下列方程()()ufrr00(,)(-)Grrrr三维球对称对于三维球对称情形，我们选取00r对上式两边在球内积分（14.3.4）()d1TVr（14.3.5）利用高斯定理（14.1.1）得到2(,0)d(,0)d(,0)dsinddTTSSGGVGVGrrrrrS(14.3.6)VdrdVrGTT)()0,(故有使上式恒成立，有r0G因此0c，,故得到1sin2ddrrGs142rGrcrG41rG41对于三维无界球对称情形的格林函数可以选取为代入（14.3.1）得到三维无界区域问题的解为上式正是我们所熟知的静电场的电位表达式的点电荷所产生的场为电量为000-41),(rrrrGdVrrrfruT00)(41)(二维轴对称情形用单位长的圆柱体来代替球．积分在单位长的圆柱体内进行，即因为(,0)d()dTTGVVrr()d1TVr(,0)d(,0)d(,0)dTTSGVGVGrrrS由于,rGGGre只是垂直于轴，且向外的分量，所以上式在圆柱体上、下底的面积分为零，只剩下沿侧面的积分，即1dzrdrGS选取的圆柱的高度为单位长，则很容易得到下面的结果令积分常数为0，得到因此二维轴对称情形的格林函数为将（14.3.9）代入式（14.3.1）得到二维无界区域的解为000011()()lnd2π|SufS|rrrrrrG21crrG1ln21)0,(rrG1ln21)0,(01ln21)0,(rrrG用电像法确定格林函数用格林函数法求解的主要困难还在于如何确定格林函数本身一个具体的定解问题，需要寻找一个合适的格林函数为了求解的方便，对一些具体问题我们给出构建格林函数的方法电像法考虑一个具体的物理模型：设在一接地导体球内的0M放置一个单位正电荷，求在体内的电势分布，并满足边界条件为零点对于第一类边值问题，其格林函数可定义为下列定解问题的解000(,)(-)(,)|0GGrrrrrr为了满足边界条件：电势为零，所以还得在边界外像点（或对称点）放置一个合适的负电荷，这样才能使这两个电荷在界面上产生的电势之和为零这方法是基于静电学的镜像原理来构建格林函数，所以我们称这种构建方法为电像法（也称为镜像法）．上半平面区域第一边值问题的格林函数构建拉普拉斯方程的第一边值问题求解物理模型：若在000(,)Mxy处放置一正单位点电荷则虚设的负单位点电荷应该在100(,)Mxy于是得到这两点电荷在xoy的上半平面的电位分布．也就是本问题的格林函数，即为0010022220000220022001111(,)lnln2π||2π||1111(,|,)lnln2π2π()()()()()()1ln[]4π()()GGxyxyxxyyxxyyxxyyxxyyrrrrrr（14.4.2）据上述物理模型可求解下列定解问题例14.6.1定解问题：00,(0)|()xxyyyuuyux【解】根据第一边值问题，构建的格林函数满足200()()xxyyGGGxxyy0|0yG0000(,),(,)xyxy处放置于一个正和一个负的点电荷（或点源）构建格林函数为2200002200()()1(,|,)ln[]4π()()xxyyGxyxyxxyy边界外法线方向为负y轴，故有0000222222000000111||=2π()π()π()yyyyGGnyxxyxxyxxy代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式（14.2.13），拉普拉斯方程的自由项0f,则由000(,)()(,)()d()]dTGuGfVSrrrrrrrn得0002200()(,)dπ()yxuxyxxxy(14.4.3)或代入拉普拉斯方程的第一边值问题的解公式（14.2.22）0000(,)()()]dGuSrrrrn得到00220()(,)dπ()gxyuxyxxxy(14.4.4)公式（14.4.3）或（14.4.4）称为上半平面的拉普拉斯积分公式．2.泊松方程的第一边值问题求解例14.6.2定解问题：(,)(+,0)(,0)()(+,0)xxyyuufxyxyuxxxy根据第一类边值问题的解公式(14.2.14)得到000000000000(,)(,)(,;,)(,)dd()|dyGuxyGxyxyfxyxyxx0nrr（14.4.5）根据半平面区域第一类边值问题的格林函数(14.4.2)式，得到2200002200()()1(,|,)ln[]4π()()xxyyGxyxyxxyy(14.4.6)因为边界上的法线为负y轴，故002200||π[()]yyGGnyxxy(14.4.7)将（14.4.6）和(14.4.7)代入（14.4.5）得到泊松方程在半平面区域第一边值问题的解220000000022220000()()()11(,)ln[](,)ddd4π()()π()xxyyyxuxyfxyxyxxxyyxxy14.4.2上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题物理模型:yzx0000(,,)Mxyz1000(,,)Mxyz(,,)Mxyz图14.1例14.4.3在上半空间0z内求解拉普拉斯方程的第一边值问题00,(0)|(,)xxyyzzzuuuzuxy