节随机变量的独立性,条件分布.

一、随机变量的相互独立性二、离散型随机变量的条件分布三、连续型随机变量的条件分布随机变量的独立性,条件分布四、小结第2.23节一、随机变量的相互独立性随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念.两随机变量独立的定义是：两事件A,B独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B独立.设X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有)()(),(yYPxXPyYxXP则称X,Y相互独立.1.定义2.6)()(),(yFxFyxFYX用分布函数表示,即设X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有则称X,Y相互独立.它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.),(yxp其中是X,Y的联合密度，)()(),(ypxpyxpYX成立，则称X,Y相互独立.若对任意的x,y,有若(X,Y)是连续型r.v,则上述独立性的定义等价于：分别是X)(),(ypxpYX和Y的边缘密度.若(X,Y)是离散型r.v，则上述独立性的定义等价于：)()(),(jijiyYPxXPyYxXP则称X和Y相互独立.对(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有),(YXijp)1,1()2,1()3,1()1,2()2,2()3,2(619118131解的分布律改写为将),(YX例1的分布律为已知),(YX.,(2);)1(的值与求相互独立与若应满足的条件与求YX(1)由分布律的性质知,0,0,132.310,0:且应满足的条件是与故XY32112619118131}{iixXPp3131}{jjyYPp219118132)3,2,1;2,1(,jipppjiij特别有2112ppp913191,92又,31.91得(2)因为X与Y相互独立,所以有例2设(X,Y)的概率密度为其它,00,0,),()(yxxeyxpyx问X和Y是否独立？x0即：对一切x,y,均有：故X,Y独立)()(),(ypxpyxpYXy0其它,00,)(xxexpxX其它,00,)(yeypyY解：dyxexpyxX0)()(xxedxxeypyxY0)()(ye二、离散型随机变量的条件分布.,}{},{}{,0}{,,),(的条件分布律条件下随机变量为在则称若的对于固定是二维离散型随机变量设XyYppyYPyYxXPyYxXPyYPjYXjjijjjijij定义.,}{},{}{,0}{,的条件分布律条件下随机变量为在则称若对于固定的YxXppxXPyYxXPxXyYPxXPiiiijijiiji.,2,1,ji其中XY3210010.0020.0030.0840.0002.0008.0010.0060.0001.0004.0005.0010.0210900.0080.0020.0013.0032.0045.0910.0000.1}{iXP}{jYP.,0)2(;,1)1(的条件分布律的条件下求在的条件分布律的条件下求在XYYX的分布律为设（例),.1YX解}1{}0,1{}10{XPYXPXYP,045.0030.0}1{}1,1{}11{XPYXPXYP,045.0010.0}1{}2,1{}12{XPYXPXYP,045.0005.0由上述分布律的表格可得的条件分布律为的条件下即在YX,1kY}1{XkYP210919296的条件分布律为的条件下同理可得在XY,0kX}0{YkXP32109019029039084定义三、连续型随机变量的条件分布.)(),()(,)(),(,)(,).(),(),,(),(ypyxpyxpXyYypyxpypyypYYXyxpYXYYYYYX0记为的条件概率密度的条件下为在则称对于固定的若的边缘概率密度为关于的概率密度为设二维随机变量.d)(),(}{)(),(}{,,d)(),(d)(xypyxpyYxXPyxFyxFyYxXPXyYxypyxpxyxpxYYXYXxxYYX即或记为的条件分布函数条件下的为在称为的条件分布函数的条件下同理定义在YxX.d)(),(}|{)(yxpyxpxXyYPxyFyXXY.d])(),([d)()(xYxYXYXxypyxpxyxpyxF.d])(),([d)()(yXyXYXYyxpyxpyxypxyF说明联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下联合分布条件分布函数与条件密度函数的关系边缘分布条件分布联合分布例2*设（x,y）在椭圆上服从均匀分布，求条件分布密度函数p(x|y).解由题假设知12222byaxaxaxaxaabdyxpbyaxbyaxabyxpuuX,0,12)(1,01,1),(2222222222则),(,0,12)(,1,1222222bbybybybybabdxypbyavaxbuvvy从而对令这里上服从均匀分布。在区间）的条件下，说明在（22222222221,11,01,121)|(byabyaXyYbyaxbyaxbyayxp例3*).|(),|(),,,,,(~222121xypyxpNYX条件分布密度求，设222211222212/exp121|,,xyxypyx对于一切解分布。，其条件分布仍为正态说明对于二元正态分布221222112112/exp121|yxyxp).(.)1,(,)10(,)1,0(ypYxYxxXXY的概率密度求值上随机地取在区间数时当观察到上随机地取值在区间设数解具有概率密度由题意知X.,0,10,1)(其它xxpX),10(xx对于任意给定的值,的条件下在xX的条件概率密度为Y.,0,10,11)(其它yxxxypXY例4的联合概率密度为和因此YX)()(),(xpxypyxpXXY.,0,10,11其它yxx的边缘概率密度故得YxyxpypYd),()(.,0,10),1ln(d110其它yyyxx四、小结则有边缘概率密度分别为的联合概率密度为设连续型随机变量),(),(),,(),(.2ypxpyxpYXYX)()(),(ypxpyxpYX}.{}{},{jijiyYPxXPyYxXP相互独立和YX.)()(,.3也相互独立和则相互独立和YgXfYX相互独立和YX1.若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为.,2,1,,},{jipyYxXPijji独立性.,2,1,ji其中,}{},{}{iijijiijippxXPyYxXPxXyYPYxX的条件分布律为条件下随机变量在给定,}{},{}{,)2,1,(,),(.1jijjjijijijppyYPyYxXPyYxXPXyYjipYX的条件分布律为条件下随机变量在给定为其联合分布律是二维离散型随机变量设条件分布.d])(),([d)()(xYxYXYXxypyxpxyxpyxF.d])(),([d)()(yXyXYXYyxpyxpyxypxyF则有是二维连续型随机变量设,),(.2YX解,1dd),()1(yxyxp因为xyxCyxdd)1(100yxyxpdd),(可得.,)(;,)(;)(.,.,),(),(~),(的独立性判断的边缘概率密度关于求关于的值求其它设YXYXCxyxxCyyxpYX32100101例1备份题.,0.0,10),1(24),(其它故xyxxyyxpyxyyyxpxpxXd)1(24d),()(0).1(122xx,10时当x,1,0时或当xx.0d),()(yyxpxpXxyoxy1x124d2)1(210CxxxC.24CxyxpypYd),()(.)1(122yyxxyyd)1(241.,0,10),1(12)(2其它xxxxpX于是(X,Y)关于X的边缘概率密度为,10时当yxyoxy1x.,0,10,)1(12)(2其它因而得yyyypY),()(),()3(ypxpyxpYX由于.,不相互独立所以YX.0d),()(xyxpypY,1,0时或当yyxyoxy1x解,730143143}1{YP由于XY210210283289283143143028100求Y=1时X的条件分布.例2已知分布律,2114337}11{YXP.0037}12{YXP,2114337}10{YXP得,}1{}1,{}1{YPYxXPYxXPii)2,1,0(i因此,在Y=1的条件下X的分布律为X}1{YxXPi21002121解,0}41{XP因为}41{}81,41{XPYXP不存在.}4181{XYP所以?}481{.,0,0,10,3),(),(XYPxyxxyxpYX求其它的联合概率密度为设随机变量例3正确解法为yyxpxpXd),()(.,0,10,d30其它xyxx.,0,10,232其它xx)(),()(xpyxpxypXXY因此.,0,0,22332其它xyxxx于是yypXYd)41(81.1d8810y}4181{XYP例4一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时,设他们两人到达的时间相互独立,求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率.解,达办公室的时间书到分别是负责人和他的秘和设YX的概率密度分别为和由假设YX,,0,128,41)(其它xxpX,,0,97,21)(其它xypY,,相互独立由于YX的概率密度为得),(YX)()(),(ypxpyxpYX.,0,97,128,81其它yx}121{YXPGyxyxpdd),().(81的面积GOxy81279ABBCCG.),(,],[),,(,2的联合概率密度求上服从均匀分布在服从并且相互独立和设随机变量YXbbYσaNXYX;,21)(222)(xeσxpσaxX又)()(),(ypxpyxpYX所以解由于X与Y相互独立,例3.,0,,21)(其它bybbypY,2121),(222)(σaxeσbyxp得.0),(,yxpby时当.,bybx其中因为X与Y相互独立,解所以于是}2{}1{}2,1{YPXPYXP6.03.0,18.0求随机变量(X,Y)的分布律.例4设两个独立的随机变量X与Y的分布律为XXP317.03.0YYP424.06.0}{}{},{jijiyYPxXPyYxXP}4{}1{}4,1{YPXPYXP4.03.0,12.0}2{}3{}2,3{YPXPYXP6.07.