第五章 控制系统的稳定性分析-1

控制系统的稳定性分析第五章§5-1稳定的基本概念例1：求当f(t)=0时，而对质量m施加一个初始扰动，即当t=0时令质量m有一个位移，即y(0)=a，然后突然释放，求系统的运动。)(..tfkyym图示系统的运动方程为：解：对上式进行拉氏变换，得)(..tfkyym0)()0()0()(.2sKYymmsysYms将初始条件代入，得22()()()msYsKYsmsaasYsKsm.(0),(0)0yay拉氏反变换，得tmkatycos)(结论：对图3-1所示系统，在施加一个初始扰动y(0)=a后，系统将永远按振幅为a，频率为的余弦波振动，永远不能恢复到原始静止平衡状态。mk例２：)(...tfKyycym0)0(,)0(.yaytmcmkemcmkmcABmcmkmAtytmc2122212222sin2221)(设等式右端常数项为H，则)sin()(2tHetyntmc结论：如图所示系统，在施加一初始扰动ａ后，系统的运动随时间增长而衰减，最后可恢复到原始静止状态。稳定性概念：当系统受到扰动作用后，将偏离原来的平衡位置，当扰动消除后，如果系统能在一定的时间范围内以足够的准确度恢复到初始平衡状态，则称系统是稳定的系统，反之则称系统是不稳定系统。系统输出的一般表达：为暂态分量，为稳态分量（见第二章）稳定的概念亦可理解为：当输入发生变化时，如果系统的输出经过一段时间后，暂态分量消失，只有稳态分量，则该系统是稳定的。所以研究系统稳定性实际就是研究系统输出的暂态分量是否满足：()tsCt()()()tsssCtCtCt0)(limtCtst()ssCt由于暂态分量只与系统结构参数有关（如例２），与输入量无关。所以，研究系统稳定性就是研究系统输出的暂态分量与系统结构参量的关系，通过系统结构参数来判定稳定性以及在确定稳定的条件下系统参数的变化范围。§5-2线性系统稳定的充分和必要条件1、线性常微分方程解的特性在数学分析中我们知道，对线性常微分方程的解分两部分，即tfbtfbtfbayayayammmmnininn0111121tfbtfbtfbayayayammmmnininn0111121tYtYtYtyCtyCtyCtynn2122211)()(齐次通解特解齐次通解即齐次方程加初始条件所确定的解其解法如下：（1）写出其特征方程为0121nnnayaya01121nnnnaaaa实数根（2）求出对应的特征根：设有q个实根r对共轭复根：)2,1(rkkkj（3）写出齐次通解的一般形式：tBtAeeCtYkkkktrktiqikisincos111其中，Ak、Bk、Ck为由初始条件确定的常数qii,3,2,1由上式可以看出，研究暂态分量式是否成立，实际上就是研究齐次方程的通解随时间的变化趋势，也就是分析0lim1tYt是否成立？？2、趋势分析(1)if任一则系统发散，不稳定。（2）if任一，则系统发散，不稳定。（3）if任一，则系统等幅振荡，也不稳定。（4）只有对所有的成立时，才成立，即系统才稳定。0i0itYt1lim0ktYt1lim0ktBtAtYkkkktsincoslim10,0ki0lim1tYt3、控制系统稳定的充分与必要条件由上面分析可以得到控制系统稳定的充分与必要条件是：系统特征方程的所有根具有负实部、或者说，闭环传递函数的极点均位于复平面（S平面）的左半部（不包括虚轴）。§5-3系统稳定性判定方法-劳斯（Routh）判据用特征方程的根直接判定系统的稳定性，须求解特征方程。实际上我们在判定稳定性时，需要知道的只是根的符号。因此，Routh于1877年提出了不需求特征根而进行稳定性判定的劳斯判据。下面介绍这一方法：1．系统稳定的必要条件：若线性系统特征方程为:如果为特征方程的根，根据代数理论中根和系数的关系有：00111asasasannnnniinnsaa11nijijinnssaa11,2niinnknkjikjijinnsaasssaa101,,3)1(nisi,2,1由上式可知，当则0,2,1nisi01nnaa02nnaa03nnaa00naa也就是说特征方程的各项系数必须同号且不为0。由此得出系统稳定的必要条件：即如果系统稳定，则系统特征方程的各项系数同号且均不为零。01,,aaann2.劳斯判据应用必要条件只能证明特征方程缺项（系数为0）或有不同号系数的系统为不稳定系统，而不能对系数全大于0的系统进行判别。（1）劳斯表：对于系统特征方程可列出下表00111asasasannnn0na032132175316420321acccbbbaaaaaaaasssssnnnnnnnnnnnn其中：按上面给出的计算方法，一直算到第n行（S1），第n+1行是S0仅第1列有数即特征方程中系数a0。)12(1211inninnniaaaaab11)12(111iinnibbaabc（2）劳斯判据：若劳斯表中第一列数均大于零,即:则系统稳定；若劳斯表第一列出现小于零的数，则系统不稳定，并且第一列各数符号改变的次数等于特征方程的正实部根的数目。0,,,0111acbaann例1已知系统的特征方程为试用劳斯判据判定系统的稳定性。0269842345sssss解：列劳斯表并计算：202339002231190211423294681012345ssssss结论：表中第1列数均大于零，故系统稳定。例2，已知系统特征方程为：654326218524200ssssss试判定系统的稳定性。解：列劳斯表2007220207061020)24(1)4(1043120)24(5)18(2)6(10123456sssssss从劳斯表可以看出（括号中的数字表示同一行数字可约分），系统不稳定，且有两个正实部根。3、利用劳斯判据确定使系统稳定的参数例，已知一反馈控制系统的开环传递函数为试确定使用闭环系统稳定的K的取值范围。)52(2)()(23kssssKsHsG解：∵系统闭环传递函数为特征方程为：)()(1)()(sHsGsGsB0)()(1sHsG0)552(2123KssssK02)5(52234KsKsss解出上面不等式组，得当0K2.403时，系统稳定，当K=2.403时，称闭环系统为临界稳定，实际上是等幅振荡系统。列劳斯表：KsKKKsKKsKsKs25258225052251021234若闭环系统稳定，应该有025K052582KKK02K