P03简单的优化模型

第三章简单的优化模型3.1存贮模型3.2生猪的出售时机3.3报童送报3.4森林救火优化模型的数学意义优化问题是在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常遇到的一类问题。设计师要求在满足强度要求等条件下合理选择材料的尺寸；公司经理要根据生产成本和市场需求确定产品价格和生产计划，使利润达到最大；调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排从各供应点到各需求点的运量和路线，使运输总费用达到最低。……本章讨论的是用数学建模的方法来处理优化问题：即建立和求解所谓的优化模型。注意的是建模时要作适当的简化，可能使得结果不一定完全可行或达到实际上的最优，但是它基于客观规律和数据，又不需要多大的费用。如果在建模的基础上再辅之以适当的检验，就可以期望得到实际问题的一个比较圆满的回答。本章介绍较为简单的优化模型，归结为微积分中的极值问题，因而可以直接使用微积分中的方法加以求解。当你决定用数学建模的方法来处理一个优化问题时，首先要确定优化的目标，其次确定寻求的决策，以及决策受到哪些条件的限制。在处理过程中，要对实际问题作若干合理的假设。最后用微积分的进行求解。在求出最后决策后，要对结果作一些定性和定量的分析和必要的检验。•现实世界中普遍存在着优化问题•静态优化问题指最优解是数(不是函数)•建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数•求解静态优化模型一般用微分法静态优化模型3.1存贮模型问题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。要求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。问题分析与思考•每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元。日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。•10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100=4500元，准备费5000元，总计9500元。•50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…+100=122500元，准备费5000元，总计127500元。平均每天费用950元平均每天费用2550元10天生产一次平均每天费用最小吗?每天费用5000元•这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的总费用作为目标函数目标函数——每天总费用的平均值最小•周期短，产量小•周期长，产量大问题分析与思考贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小模型假设1.产品每天的需求量为常数r；2.每次生产准备费为c1,每天每件产品贮存费为c2；3.T天生产一次（周期）,每次生产Q件，当贮存量为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；建模目的设r,c1,c2已知，求T,Q使每天总费用的平均值最小。4.为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。模型建立0tq贮存量表示为时间的函数q(t)TQrt=0生产Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r递减，q(T)=0.一周期总费用TQccC2~21每天总费用平均值（目标函数）2~)(21rTcTcTCTC离散问题连续化AcdttqcT202)(一周期贮存费为A=QT/22221rTccrTQtqtrQT2TA在一个微小时间中段中，存储费为因而在一个周期中，总存储费用为t2,cqtt220.2TccqtdtQT模型求解Min2)(21rTcTcTC求T使0dTdC212crcrTQ212rccT模型分析QTc,1QTc,2QTr,模型应用c1=5000,c2=1，r=100T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)•回答问题敏感性分析讨论参数对生产周期的影响.12,,ccrT我们用相对改变量来衡量结果对参数的敏感程度.对的敏感程度记为定义式为T1c1,,sTc再由得1/2122,cTcr1/21121221,2cdTdccrccr11111/,./cTTdTsTcccdcT⑺而121112,2/2ccrccTccr代入上式，得1111,.2cdTsTcdcT同理可得:211,,,.22sTcsTr即：每增加,T增加每增加，减少1c1%0.5%,1%T0.5%.•经济批量订货公式（EOQ公式）212rccT212crcrTQ每天需求量r，每次订货费c1,每天每件贮存费c2，用于订货、供应、存贮情形不允许缺货的存贮模型•问：若考虑生产时间和费用？T天订货一次(周期),每次订货Q件，当贮存量降到零时，Q件立即到货。允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求r,出现缺货，造成损失原模型假设：贮存量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货)现假设：允许缺货,每天每件缺货损失费c3,缺货需补足T1rTQAcdttqcT2021)(一周期贮存费BcdttqcTT331)(一周期缺货费周期T,t=T1贮存量降到零2)(2213121TTrcQTccC一周期总费用因存储量不足而造成缺货时，可以认为存储量为负值（如图所示），周期仍记为是每周期的存储量，当时，故有qt,TQ1tT0,qt在到这段缺货时间内需求率不变，按原斜率继续下降，由于规定缺货量需补足，所以在时数量为的产品立即达，1TTqttTRT1TArBtqQR1.QrT⑻使下周期初的存储量恢复到.QT1TArBtqQR则每天的平均费用为212131/2/2,CccQTcrTT⑼与不容许缺货的模型相似，一个周期内的存储费是乘以图中三角形的面积，缺货损失费是乘以三角形面积加上准备费，得一周期内的总费用为2cA3c,BrTQrTcrTQcTcTCQTC2)(2),(232210,0QCTC每天总费用平均值（目标函数）213121)(2121TTrcQTccC一周期总费用Min),(QTC求T,Q使332212cccrccT323212ccccrcQ为与不允许缺货的存贮模型相比，T记作T’,Q记作Q’212rccT212crcrTQ不允许缺货模型QQTT,332ccc记1QQTT','13cQQTT,332212'cccrccT323212'ccccrcQ允许缺货模型不允许缺货3c332212cccrccT323212ccccrcQ允许缺货模型0qQrT1tT注意：缺货需补足Q~每周期初的存贮量R每周期的生产量R（或订货量）332212ccccrcTrRQ~不允许缺货时的产量(或订货量)QQR3.2生猪的出售时机饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。问题市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降低0.1元，问生猪应何时出售。如果估计和预测有误差，对结果有何影响。分析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大trtgttQ4)80)(8()(求t使Q(t)最大rggrt240410天后出售，可多得利润20元建模及求解生猪体重w=80+rt出售价格p=8-gt销售收入R=pw资金投入C=4t利润Q=R-C=pw-C若当前出售，利润为80×8=640（元）t天出售=10Q(10)=660640估计r=2，g=0.1敏感性分析研究r,g变化时对模型结果的影响估计r=2，g=0.1rggrt2404•设g=0.1不变5.1,6040rrrtt对r的（相对）敏感度rrttrtS/Δ/Δ),(trdrdt3604060),(rrtS生猪每天体重增加量r增加1%，出售时间推迟3%。1.522.5305101520rt用相对改变量来衡量结果对参数的敏感程度。敏感性分析估计r=2，g=0.1rggrt2404研究r,g变化时对模型结果的影响•设r=2不变15.00,203gggtt对g的（相对）敏感度tgdgdtggttgtS/Δ/Δ),(32033),(ggtS生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%。0.060.080.10.120.140.160102030gt强健性分析保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售由S(t,r)=3建议过一周后(t=7)重新估计,再作计算。wwpp,,,研究r,g不是常数时对模型结果的影响w=80+rtw=w(t)4)()()()(twtptwtpp=8-gtp=p(t)若(10%),则（30%）2.28.1w137t0)(tQ每天利润的增值每天投入的资金ttwtptQ4)()()(说明:该模型的建模和解模都较为简单.我们的注意力是放在对模型的结果分析上,即重点讨论敏感性分析上.另外该模型还适用与其它与之类似的模型.问题报童每天清晨从邮局批进报纸进行零售，晚上将卖不掉的报纸返回邮局进行处理.售出一份报纸可获得相应的利润，而处理一份报纸会造成亏损.为此要考虑报童如何确定每天的进货量以达到最大利润.——随机性的函数极值问题3.3、报童问题模型假设1.报童知道卖出各个数量的概率的大小.2.设报童每天批进报纸份，进价为元，卖价为元，处理价为元.nbac由假设，报童每卖出一份报纸获利元，每处理一份报纸亏损元。当卖出量时，报童获利abbcrnabrbcnr元，当卖出量时，报童获利rnabn元.建模设每天卖出份报纸的概率为因而期望收入为r,fr0nrGnabrbcnrfr1.rnabnfr⑴从而问题转变为求出进货量使期望收入达到最大.,nGn由大数定律，报童每天的平均收入应为每天收入的期望值来表示.解模为了用微积分的方法解决该问题，将变量连续化，从而相应的概率函数用连续型随机变量的概率密度来表示.于是由连续性随机变量的数学期望公式frpr0nGnabrbcnrprdr.nabnprdr⑵由极值存在的条件，对⑵式求导并令其为零，再由含参变量积分的求导公式得rnGnabrbcnrpr0nrnbcprdrabnpr0.nabprdr整理后得:0.nnbcprdrabprdr即:0.nnprdrabbcprdr再由合比定理得00,nnnprdrababbcprdrprdr00.nprdrabacprdr即再由概率密度的性质:01,prdr从而上式为0.nabprdrKac⑷rproKn由于是一个常数，当概率密度为已知时，可由⑷式计算相应的在统计学中数又称为分位数.1K.nnp数值是卖出一份报纸的收益与处理一份报abKac纸所造成亏损的比值。这个比值越大，进报量就应该大一点，如果处理价变小，则应该少进一些.c应用举例设某报亭销售新民晚报，售价为元，进价为元，处理价为元，销售量服从参数为的指数分布，求相应的进货量0.700.400.250.015.n解由0.30.67,0.45abKac即0.01500.0150.67,nxedx在Mathematic下计算积分，输入命令.Integrate[E^(-0.015x)*0.015,{x,0,74}]得积分值为0.670441，