第四章 线性方程组

第四章线性方程组一、本章知识串讲线性方程组是线性代数的基础内容之一，首先应当会解方程组，主要方法是高斯消元法，特殊情况可考虑用克莱姆法则.特别地，当方程组中有参数时，讨论解的各种情况时不要遗漏；其次，齐次方程组0Ax总是有解的，我们关心的问题是它何时有非零解？有多少非零解？如何表示每个解？这就有解空间，解空间的基（即基础解系）等概念，要掌握基础解系的求法；再其次，对于非齐次线性方程组,Axb要理解解的结构，有解的判定等问题；最后应注意方程组与向量组线性表示及秩之间的联系，要了解方程组与空间平面的关系.二、大纲考查要点诠释1．线性方程组的各种表达形式11112211211222221122,,nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb（4.1）可用矩阵乘法表示为：.Axb（4.2）如果对系数矩阵A按列分块，方程组有向量形式1122.nnxxxb（4.3）2．齐次方程组0Ax恒有解（必有零解）当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此0Ax的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间.解空间的维数是(),nrA解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系.3．如12,,,t是0Ax的基础解系，即12,,,t是0Ax的解，12,,,t线性无关，且().tnrA（4.4）1122ttkkk是0Ax的通解.基础解系中解向量的个数是(),()nrAnrA也是方程组自由变量的个数.求基础解系时，可对A作初等行变换化为阶梯形矩阵，称每个非零行中第一个非0系数所代表的未知数是主元（共有()rA个主元），那么剩余的其它未知数就是自由变量（共有()nrA个），对自由变量按阶梯形适当赋值后，再代入求解就可得到基础解系.【例4.1】若某齐次方程组经高斯消元，化为1021315423则()532,nrA基础解系由2个向量组成.此时134,,xxx是主元，25,xx是自变量，因而可赋值为12(,1,,,0),(,0,,,2).TT由下往上代入求解，得12(0,1,0,0,0),(3,0,3,3,2).TT【注】因为(1,0),(0,2)线性无关，延伸后12,必线性无关，在2中令52,x是考虑4x的系数是2，为回避分数运算而设定的，通常是令51.x要理解基础解系，能正确迅速求解.4．齐次方程组有非零解的判定【定理4.1】设A是mn矩阵，齐次方程组0Ax有非零解的充要条件是(),rAn亦即A的列向量线性相关.特别地，【定理4.2】如A是n阶矩阵，0Ax有非零解的充要条件是0.A【定理4.3】0Ax有非零解的充分条件是mn（即方程个数未知数个数）.【注意】如0,AB则B的每一列都是0Ax的解，当0B时，蕴涵0Ax有非零解，进而有()().rArBn齐次方程组有非零解，关键在于系数矩阵的秩要小于未知数的个数（亦是系数矩阵中列向量的个数），【定理4.2】用行列式是有条件的，不要混淆，而【定理4.3】反映的是任意1n个n维向量必定线性相关，亦说明n维向量的集合至多有n个向量线性无关.5．非齐次线性方程组有解的判定【定理4.4】设A是mn矩阵，线性方程组Axb有解的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵A的秩，即()()rr（或者说，b可由A的列向量12,,,n线性表出，亦等价于12,,,n与是等价向量组）.【定理4.5】设A是mn矩阵，方程组.Axb（1）有唯一解()().rrn（4.5）（2）有无穷多解()().rrn（4.6）（3）无解()1().rr（4.7）6．非齐次线性方程组解的结构【定理4.6】如n元线性方程组xb有解，设12,,,t是相应齐次方程组0x的基础解系，是xb的一个解，则1122ttkkk是xb的通解.【注意】（1）如12,是xb的解，则12是0x的解.（2）如是xb的解，是0x的解，则k仍是xb的解.（3）如xb有唯一解，则0x只有零解；反之，当0x只有零解时，xb没有无穷多解（可能无解，也可能只有唯一解，这一点要理解清楚）.7．克莱姆（Cramer）法则线性方程组11112211211222221122.,,nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb如果系数行列式0,D则方程组有唯一解，即1212,,,,nnDDDxxxDCD（4.8）其中jD是把D中jx的系数换成常数项.三．典型题型分析及解题方法与技巧题型（一）线性方程组解的基本概念【例4.2】设A是nm矩阵，B是mn矩阵，则线性方程组0xAB（A）当mn时仅有零解（B）当mn时必有非零解（C）当nm时仅有零解（D）当nm时必有非零解（02年数3）【分析】矩阵乘积的秩不超过每个因子矩阵的秩。【答案】AB是mm矩阵，因而线性方程组0xAB的未知数个数为m。另一方面，由nmr,min)(A秩，nmr,min)(B，(B)AABrrr),(min)(及（D）中的条件nm得nnmr,min)(AB于是，由有解判别定理得知线性方程组0xAB必有非零解，即（D）正确，同时得知（C）是错误的。同样的推理可知：（A）是错误的，因为此时mr)(AB，当mr)(AB时就有非零解；（B）是错误的，因为此时mr)(AB，当mr)(AB时就只有零解。【例4.3】设n阶矩阵A的伴随矩阵,0*A若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组bAx的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0Ax的基础解系(A)不存在.(B)仅含一个非零解向量.(C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量.[B]）（04年数3）【分析】要确定基础解系含向量的个数,实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解】因为基础解系含向量的个数=)(Arn,而且.1)(,0,1)(,1,)(,)(*nArnArnArnAr根据已知条件,0*A于是)(Ar等于n或1n.又bAx有互不相等的解,即解不惟一,故1)(nAr.从而基础解系仅含一个解向量,即选(B).【例4.4】A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组0.x（1）如A中每行元素之和均为0，且()1,rn则方程组的通解是.（2）如每个n维向量都是方程组的解，则()______.r（3）如()1,rn，且代数余子式110,则0x的通解是，*0x的通解是，**()0x的通解是.【分析】（1）从()1,rn知0x的基础解系由1个解向量组成，因此任一非零解都可成为基础解系.因为每行元素之和都为0，有12121110,iiiniiinaaaaaa所以，(1,1,,1)T满足每一个方程，是0x的解，故通解是(1,1,,1).Tk（2）每个n维向量都是解，因而有n个线性无关的解，那么解空间的维数是n，又因解空间维数是(),nr故(),nnr即()0.r（3）对0x，从()1,rn知解空间是1维的.因为**0,的每一列都是0x的解.现已知110,故11121(,,,)Tn是0x的非零解，即是基，所以通解是对*0,x从()1rn知*()1r（参看【例2.28】），那么*0x的解空间是*()1nrn维，从*0知的每一列都是*0x的解，由于代数余子式110,知1n维向量122221323323(,,,),(,,,),,(,,,)TTTnnnnnnaaaaaaaaa线性无关，那么延伸为n维向量122221323323(,,,),(,,,),,(,,,)TTTnnnnnnaaaaaaaaa仍线性无关，即是*0x的基础解系，通解略.对**()0x，同上知*()1,r由于当3n时，**(())0,r那么任意n个线性无关的向量都可构成基础解系.例如，取12(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)TTTneee得通解1122.nnkekeke如2,n对于11122122,aaaa有2212*2111.aaaa于是1112**2122(),aaaa那么**()0x的通解是2221aka（注：*11220,0,()1ar）.【例4.5】选择题（1）对于n元方程组，下列命题正确的是（）.（A）如0x只有零解，则xb有唯一解（B）如0x有非零解，则xb有无穷多解（C）如xb有两个不同的解，则0x有无穷多解（D）如xb有唯一解的充要条件是()rn（2）已知1234,,,是0x的基础解系，则此方程组的基础解系还可选用（）.（A）12233441,,,（B）1234,,,的等价向量组1234,,,（C）1234,,,的等秩向量组1234,,,（D）12233441,,,（3）已知12,是xb的两个不同的解，12,是相应齐次方程组0x的基础解系，12,kk是任意常数，则xb的通解是（）.（A）1211212()2kk（B）1211212()2kk（C）1211212()2kk（D）1211212()2kk【例4.6】已知123(9,1,2,11),(1,5,13,0),(7,9,24,11)TTT是方程组1122334411223442123443,32,94.axaxaxaxdxbxxbxdxxxcxd的三个解，求此方程组的通解.【分析】求xb的通解关键是求0x的基础解系，1223,都是0x的解，现在就要判断秩()rA，以确定基础解系中向量的个数.【解】是34矩阵，()3,r由于中第二、三两行不成比例，故()2,r又因是0x的两个线性无关的解，所以4()2,r因此()2r，所以11122kk是通解.【注意】不要花时间去求出方程组，那是烦琐的；由于1213,或3132,等都可构成解空间的基，123,,都是特解，本题答案不唯一.【例4.7】设四元齐次线性方程组（Ⅰ）为020324321321xxxxxxx且已知另一四元齐次线性方程组（Ⅱ）的一个基础解系为Ta1,2,1,21α，Ta8,4,2,12α（1）求方程组（Ⅰ）的一个基础解系；（2）当a为何值时，方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解。（02年数4）【分析】求解可按常规方法进行，两个方程组的公共解，可以在一个方程组的通解中寻找满足另一方程组的那一部分解（解法1）；也可由两个方程组的解相同，寻求任意常数应满足的条件，从而在通解中找出公共解（解法2）。【答案—解法1】（1）对方程组（Ⅰ）的系数矩阵作行初等变换，有2310350111210132A。得方程组（Ⅰ）的同解方程组4324312335xxxxxx由此可得方程组（Ⅰ）的一个基础解系为T0,1,3,51β，T1,0,2,32β（2）由题设条件，方程组（Ⅱ）的全部解为2121212