梁的刚度分析

梁的刚度分析§1概述内容§2梁的挠曲线近似微分方程用其积分§3用叠加法求梁的变形§4简单静不定梁的解法§5梁的刚度校核及提高梁的刚度措施§6梁内的弯曲应变能§1概述*在上一章中，我们对各种截面梁中横截面上的应力，作了比较详尽的介绍和分析，但是，对一根梁来说，它是不是只要满足了应力要求，即强度条件，就能够使得整个构件正常，安全的工作呢？为了回答这个问题，下面我们先看一看几个简单的例子：齿轮轴弯曲变形过大，就要影响齿轮的正常啮合，加速齿轮的磨损，产生较大的噪音。齿轮轴弯曲吊车梁若变形过大，一方面会使吊车在行驶过程中发生较大的振动，另一方面使得吊车出现下坡和爬坡现象。吊车梁变形从上面两个例子我们可看出：梁即使满足了强度条件，若变形过大的话，它仍然不能够正常安全的工作。由此，我们可以得出：要使梁正常安全的工作，一方面梁不仅要满足强度条件，另一方面梁还必须满足一定的变形条件。只有在这两方面同时得到满足的条件下，整个构件才能正常安全工作。*第九章的内容就告诉了我们上面所提到的梁所必须满足的变形条件以及计算这种弯曲变形的方法，下面我们首先来看几个基本概念：举例：如图所示：取梁变形前的轴线为x轴，与x轴垂直的为y轴。弯曲变形后，在xy平面内，AB——弧AC1B，挠曲线——平面曲线AC1B。ABFC1xyx1．挠度——梁的轴线上某一个点在垂直于x轴的方向（y方向）所发生的位移。2．转角——梁上某一横截面在梁发生变形后，绕其中性轴转动的角度，就称为该横截面的转角。3．挠曲线方程——从图中我们可以看出：梁的轴线上每一点的挠度y是随着点的位置x的改变而变化的，因此它是x的函数,即：xfy——挠曲线方程4．转角方程——由截面的平面假设可知：变形前垂直于轴线的横截面，变形后仍垂直于挠曲线，故，当我们通过挠曲线上任意一点C1作切线时，它与水平线的夹角点所在横截面的转角，于是：显然等于C1xfy任一点的斜率与转角之间的关系为：tgdxdy挠曲线：物理意义：反应了挠度与转角之间的关系，即挠曲线上任意一点处切线的斜率等于该点处横截面的转角。由于：极其微小tgxfdxdy'——转角方程结论：由转角方程我们可看出：梁上某点处横截面的转角等于xf'在该点处的大小。研究梁的变形的关键在于提出。xfy挠曲线方程挠度：向下的挠度为正，向上的挠度为负转角：顺时针的转向为正，逆时针的转向为负5．挠度，转角的正负号规定：目录§2梁的挠曲线近似微分方程用其积分一.挠曲线近似微分方程（的推导）在上一章，讨论纯弯曲变形时，得出：梁纯弯曲时轴线的曲率为：KEIMZ1（a）在横力弯曲中，我们知道梁的横截面上的内力除弯矩外，还有剪力，但同时我们又知道：工程上常用的梁，由于L（跨长）远大于h（横截面高度），剪力的影响很小，可忽略不计。故我们仍可将其当作纯弯曲梁来处理。有(a)式来表示曲率大小。但由于在横力弯曲中，曲率和弯矩都是x的函数。故而应写为：xKEIxMxZ1(b)又：23211yyxZEIxMyx1ZEIxMyx11(9-3)——挠曲线近似微分方程注:上式之所以称为梁的挠曲线近似微分方程，主要是略去了剪力的影响和2y项的结果。二.讨论：从（9-3）式可看到：在等式的右边有一个+号。到底是取正号还是取负呢？我们大家都知道，梁变形后的形状，不外乎ab两种。我们现在分别讨论：a:在如图所示的坐标系中，显然0''y（因为0''y时，函数出现极小值）而此时：M0故，等式的右边应取“—”号，即：ZEIxMy''0''yb：在如图所示的坐标系中，显然，此时函数出现了极大值而此时：M0故等式的右边应取“—”号，即：ZEIxMy综上所述，得出：ZEIxMy''——挠曲线的近似微分方程三.积分：对等截面梁来说：常量ZI故（9-3）可写成：xMyEIZ''CdxxMyEIZ''（9-4）积分得：下面我们还要对C、D进行确定：由此我们可看出：根据（9-4）（9-5）就可以把某点处截面的转角和挠度求出来。但由（9-4）（9-5）我们还看到，有两个积分常数C、D。如果这两个常数不知道的话，我们还是无从求出和y。（9-5）DCxdxdxxMyEIZ四.积分常数的确定：一般情况下，积分常数可通过梁的支座处的变形条件（称为边界条件或支承条件）或梁的挠曲线的变形连续性条件来确定。1.变形条件：所谓变形条件，一般是指梁的支承处的变形特点，如铰支座及连杆支座处的挠度为零。固定端处的挠度为零。见下图：0Ay0ByAB0Ay0ByAB0Ay0A0A0Ay2.连续性条件：指梁被载荷分成几段时，我们将分段列出弯矩方程，由于梁的挠曲线是一光滑连续曲线，所以段与段之间连接处的挠度，转角在两段上的数值必须相等。CByACyCCCBACCC例如：b中c点为AC段与CB段的连接点，则AC段上C点的挠度ACyC，转角ACC应该与CB段上C点的挠度CByC，CBC相等，即：转角五.举例：例1.图示简支梁受均布载荷作用，载荷集度为q，梁的跨长为L，求梁跨中点C处的挠度与支座A点处的转角。根据对称性，可得：qLRRBA21（1）求支反力：解：直接积分法：对式xMyEIZ''进行积分求梁的变形方法。分别或同时利用上述两种条件就可以将积分常数确定出来。AB（2）建立挠曲线微分方程以梁的左端A为坐标原点建立坐标系如图，则：22''222xqLxqxqxRyEIAZCxqLxqyEIZ32'64——（1）DCxxqLxqyEIZ432412——（2）22xqxRxMAxMyEIZ''（3）利用边界条件确定积分常数C、D将C、D代入（1）（2）得：x=0,0Ay得：D=0x=L,0By得：243qLCxqLxqLxqyEIqLxqLxqyEIZZ2424122464343332'（3）（4）（4）2Lx时，（将2Lx代入（4）式得Cy）4438453845qLEIyqLyEIZCCZ将x=0代入（3）得：2413'qLEIyZAA（5）讨论：如若我们将x=0代入（1）（2），即可得到Ay、A分别为：ZAEIDyZAEIC，AZyEIDAZEIC（5）（6）即：一次常数C表示原点的转角与抗弯刚度的乘积二次常数D表示原点的挠度与抗弯刚度的乘积从上面可看出：把原点取在简支梁的铰支座上时，二次积分常数D=0,这正是因为原点是铰支座，而铰支座处的挠度为零。注：这一点可作为一个标准来检验上面积分常数的正确与否，并且对其它类型的梁也成立。例2.图示一悬臂梁，自由端受一集中力P作用，求自由端B处的挠度和转角。解：建立坐标系如图：（1）求支反力PRAPLMA，（2）建立挠曲线微分方程PLxPMxRxMAAPLPxxMyEIZ''（3）利用边界条件确定积分常数C、D(4)将X=L代入（c）(d)式得：CPLxPxyEIZ2'21DCxPLxPxyEIZ232161——（a）——（b）由x=0,时0Ay0AD=0C=0PLxPxyEIZ2'21232161PLxPxyEIZ——（c）——（d）ZBBEIPLy22'ZBEIPLy23（5）讨论：由上面可看到：由于固定端处的转角和挠度都为零，故C=D=0，即：它也满足例1中得出的结论。例3.图示一简支梁，在梁跨度中点C处作用一个集中力P。求该跨中点C的挠度及支座A点处横截面的转角。ABPARBRx2/LL解：[分析]象这样类型习题的传统解法是：以A点为原点,建立坐标系，分AC段，CB段分别列出弯矩方程及挠曲线方程，然后根据变形条件和连续条件确定积分方程。从而求解，我们的书中用的就是这种解法，但是，我们只要稍微注意一下，就可发现，此梁为一对称结构，因此，我们只需取其一半结构即可得出结果。(1)求支反力：由对称性可得：PRA21取AC段为研究对象：（2）建立挠曲线微分方程xPxRxMA2xPxMyEIZ2''CxPyEIZ2'4——（1）DCxxPyEIZ312——（2）（3）利用边界条件确定积分常数C、D将C、D代入（1）（2）得：（4）求结果：16422'PLxPyEIZxPLxPyEIZ161223x=0时，ZZAAEIPLPLEIy1616122'x=L/2时，ZCEIPLy483由x=0,0Ay得：D=0由对称性可得：x=L/2,0C，得：162PLC图示一简支梁，在梁中点处作用一个集中力偶Me，求梁跨中点C处的挠度与铰支座A点处的转角及连杆支座B点处的转角。并求梁上最大挠度值。ABeMARBRx2/LLC思考题：目录§3用叠加法求梁的变形一.概述：我们上面所讲的直接积分法是求梁变形的基本方法，但在载荷复杂的情况下，要列多段弯矩方程，从而产生很多的积分常数。运算非常复杂。现在我们将要介绍的叠加法，基本上克服了这一缺点，为工程上常采用的较方便的计算方法之一。我们在本门课的一开始就曾讲过，材料力学所研究的范围是线弹性范围，变形是小变形，梁的挠度和转角与作用在梁上的载荷成线性关系。故而当梁同时受几个载荷作用而使梁产生的变形，就等于每一个载荷单独作用下梁产生的变形的代数和。这种用每一个载荷单独作用下梁产生的变形的代数和来代替梁同时受几个载荷共同作用下产生的总变形的方法，我们就称其为叠加法。在用叠加法求梁的变形时，每一个载荷单独作用下产生变形可从本书附录中查到。二.举例：例4.图示一简支梁受均布载荷及集中力偶作用，试用叠加法求梁跨中点处的挠度和支座处的转角。ABeMARBRx2/LLC（1）首先将梁上的载荷分成两种，如下图，并由附录中查得它们单独作用下，跨中处的挠度和支座处的转角为：ZAqEIqL243ZBqEIqL243ZCqEIqLy38454ZAMEIMeL3ZBMEIMeL6ZCMEIMeLy162解：ABARBRxLCABeMARBRxL(2).进行代数相加，求得：ZZCMCqCEIMeLEIqLyyy16384524ZZAMAqAEIMeLEIqL3243ZZBMBqBEIMeLEIqL6243例5.图示，一受载荷的悬臂梁，求自由端A点处的挠度和转角解：BAqCcyAyCBACaL在分析这种梁的时候，我们把它分成两段来考虑：由附录中，我们可查得：ZCEIqay84ZCEIqa63由CA段上无载荷，CA段又是自由端，所以CA段梁变形后仍保持直杆，如图所示，由杆件的变形连续条件可知：ACCCAaLyyZZAEIqaaLEIqay6834ZACEIqa63图示，一悬臂梁受集中力作用，试用叠加法求自由端A点处的挠度和转角BACaL1P2P思考题目录§4简单静不定梁的解法一.概述对于静不定梁，一般的解决办法有三种：叠加法，能量法，力法，其中的能量法和力法我们将在以后的几章中介绍，现在我们就用叠加法来解静不定梁。二.方法：(2).根据解除约束处的原来约束性质，即变形特点，列出变形关系。(1).首先将多余约束解除，代之以支座反力，从而使静不定结构成为静定结构。(3).利用物理关系得出补充方程(4).联立求解补充方程与静力平衡关系三.举例：例10.图示超静定梁上作用均布载荷，集度为q，试求其支座反力并绘出该梁的内力图。(1).由附表可查得：(2).变形相容条件：0ByBBRBqByyy得：ZBqEIqLy84ZBBREILRyB33(a)(b)ALBqABRBqAqBqy0BBRBq