第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数

任意角和弧度制及任意角的三角函数结束课前·双基落实课堂·考点突破课后·三维演练第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数第三章三角函数、解三角形任意角和弧度制及任意角的三角函数结束课前·双基落实课堂·考点突破课后·三维演练端点正角负角零角象限角1．角的概念的推广任意角和弧度制及任意角的三角函数结束课前·双基落实课堂·考点突破课后·三维演练2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式半径长角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝π180rad；②1rad＝_____弧长公式弧长l＝扇形面积公式180π°|α|r12lr12|α|r2S＝＝_______任意角和弧度制及任意角的三角函数结束课前·双基落实课堂·考点突破课后·三维演练三角函数正弦余弦正切设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么定义__叫做α的正弦，记作sinα___叫做α的余弦，记作cosα___叫做α的正切，记作tanαyxyx3.任意角的三角函数任意角和弧度制及任意角的三角函数结束课前·双基落实课堂·考点突破课后·三维演练三角函数正弦余弦正切各象限符号一＋＋＋二＋－－三－－＋四－＋－三角函数线有向线段____为正弦线有向线段____为余弦线有向线段____为正切线MPOMAT任意角和弧度制及任意角的三角函数结束课前·双基落实课堂·考点突破课后·三维演练1．若θ满足sinθ0，cosθ0，则θ的终边所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D[小题体验]2．已知角α的终边经过点(－4，－3)，则cosα＝()A．45B．－45C．35D．－35答案：B3．已知半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为________．答案：1．2任意角和弧度制及任意角的三角函数结束课前·双基落实课堂·考点突破课后·三维演练1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．4．三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx．任意角和弧度制及任意角的三角函数结束课前·双基落实课堂·考点突破课后·三维演练1．若角α终边上有一点P(x,5)，且cosα＝x13(x≠0)，则sinα＝()A．513B．1213C．512D．－513答案：A[小题纠偏]2．3900°是第________象限角，－1000°是第________象限角．答案：四一任意角和弧度制及任意角的三角函数结束课前·双基落实课堂·考点突破课后·三维演练考点一角的集合表示及象限角的判定[题组练透]1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：－3π4是第三象限角，故①错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．答案：C任意角和弧度制及任意角的三角函数结束课前·双基落实课堂·考点突破课后·三维演练2．若α是第二象限的角，则下列结论一定成立的是()A．sinα20B．cosα20C．tanα20D．sinα2cosα20解析：∵π2＋2kπαπ＋2kπ，k∈Z，∴π4＋kπα2π2＋kπ．当k为偶数时，α2是第一象限角；当k为奇数时，α2是第三象限角，即tanα20一定成立，故选C．答案：C任意角和弧度制及任意角的三角函数结束课前·双基落实课堂·考点突破课后·三维演练3．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°0°，得－765°≤k×360°－45°，解得－765360≤k－45360，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°．答案：－675°或－315°任意角和弧度制及任意角的三角函数结束课前·双基落实课堂·考点突破课后·三维演练4．已知角β的终边在直线3x－y＝0上，则角β的集合S＝____________________．解析：如图，直线3x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合为：S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，所以角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．答案：{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}任意角和弧度制及任意角的三角函数结束课前·双基落实课堂·考点突破课后·三维演练[谨记通法]1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；(4)求并集化简集合．2．确定kα，αk(k∈N*)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；(2)再写出kα或αk的范围；(3)然后根据k的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在位置．任意角和弧度制及任意角的三角函数结束课前·双基落实课堂·考点突破课后·三维演练考点二扇形的弧长及面积公式[题组练透]1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为()A．40πcm2B．80πcm2C．40cm2D．80cm2解析：∵72°＝2π5，∴S扇形＝12|α|r2＝12×2π5×202＝80π(cm2)．答案：B任意角和弧度制及任意角的三角函数结束课前·双基落实课堂·考点突破课后·三维演练2．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是()A．1B．4C．1或4D．2或4解析：设此扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝6，12rl＝2，解得r＝1，l＝4或r＝2，l＝2.从而α＝lr＝41＝4或α＝lr＝22＝1．答案：C任意角和弧度制及任意角的三角函数结束课前·双基落实课堂·考点突破课后·三维演练3．扇形弧长为20cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm2．解析：由弧长公式l＝|α|r，得r＝20100π180＝36π，∴S扇形＝12lr＝12×20×36π＝360π．答案：360π任意角和弧度制及任意角的三角函数结束课前·双基落实课堂·考点突破课后·三维演练[谨记通法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝12lr＝12|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量，如“题组练透”第3题．任意角和弧度制及任意角的三角函数结束课前·双基落实课堂·考点突破课后·三维演练考点三三角函数的定义[锁定考向]任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．常见的命题角度有：(1)三角函数定义的应用；(2)三角函数值的符号判定；(3)三角函数线的应用．任意角和弧度制及任意角的三角函数结束课前·双基落实课堂·考点突破课后·三维演练[题点全练]角度一：三角函数定义的应用1．已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－513，则1sinα＋1tanα＝________．解析：∵角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－513，∴cosα＝－xx2＋36＝－513，即x＝52或x＝－52(舍去)，∴P－52，－6，∴sinα＝－1213，∴tanα＝sinαcosα＝125，则1sinα＋1tanα＝－1312＋512＝－23．答案：－23任意角和弧度制及任意角的三角函数结束课前·双基落实课堂·考点突破课后·三维演练角度二：三角函数值的符号判定2．若sinαtanα0，且cosαtanα0，则角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：由sinαtanα0可知sinα，tanα异号，则α为第二或第三象限角．由cosαtanα0可知cosα，tanα异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．答案：C任意角和弧度制及任意角的三角函数结束课前·双基落实课堂·考点突破课后·三维演练解析：∵3－4sin2x0，∴sin2x34，∴－32sinx32．利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x∈kπ－π3，kπ＋π3(k∈Z)．答案：kπ－π3，kπ＋π3(k∈Z)角度三：三角函数线的应用3．函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为________．任意角和弧度制及任意角的三角函数结束课前·双基落实课堂·考点突破课后·三维演练[通法在握]定义法求三角函数的3种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．任意角和弧度制及任意角的三角函数结束课前·双基落实课堂·考点突破课后·三维演练1．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为45，则cosα的值为()A．45B．－45C．35D．－35[演练冲关]解析：因为点A的纵坐标yA＝45，且点A在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－35，由三角函数的定义可得cosα＝－35．答案：D任意角和弧度制及任意角的三角函数结束课前·双基落实课堂·考点突破课后·三维演练2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()A．－45B．－35C．35D．45解析：设P(t,2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点，则cosθ＝t5|t|．当t0时，cosθ＝55；当t0时，cosθ＝－55．因此cos2θ＝2cos2θ－1＝25－1＝－35．答案：B