通信原理I第3章- 随机过程

2009-9-91第三章随机过程„随机过程的一般表述„平稳随机过程„高斯过程„平稳随机过程通过线性系统„窄带随机过程„正弦波加窄带高斯过程„循环平稳随机过程„加性噪声„匹配滤波器2009-9-921随机过程的一般表述(1)„随机过程：与时间有关的函数，但任一时刻的取值不确定(随机变量)„样本函数：随机过程的具体实现„样本空间：所有实现构成的全体„所有样本函数及其统计特性构成了随机过程~()ixt{}1~(),,(),iSxtxt=……~()Xt2009-9-931随机过程的一般表述(2)„分布函数与概率密度„一维分布函数()(){}11111,FxtPXtx=≤()()1111111,,Fxtpxtx∂=∂„一维概率密度„n维分布函数()()()(){}12121122,,;,,,,,nnnnnFxxxtttPXtxXtxXtx=≤≤≤………()()1212121212,,;,,,,;,,nnnnnnnnpxxxtttFxxxtttxxx∂=∂∂∂……………„n维概率密度2009-9-941随机过程的一般表述(3)„随机过程的数字特征[]()1(),()XEXtxpxtdxtm∞−∞==∫()()1212122121212,()(),;,XttEXtXtxxpxxttdxdxR∞∞−∞−∞==⎡⎤⎣⎦∫∫„均值[][]{}2222()()()()()()XXDXtEXtEXtEXtttmσ=−⎡⎤=−=⎣⎦„方差„自相关函数(){}()1211221212,()()()(),()()XXXXXXttEXttXttttttCmmmmR=−−=−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦„自协方差函数()()121212,,()()XXXXttCttttρσσ=„相关系数()()()1212,0XttXtXtρ=若，称和不相关。2009-9-951随机过程的一般表述(4)„两随机过程的联合分布函数和概率密度„(n+m)维联合分布函数()()()()(){}11''111''111,;,;,;,,,;,,mnmnnmmnnmFxxttyyttPXtxXtxYtyYty+=≤≤≤≤………………()()11''111''11111,;,;,;,,;,;,;,nmnnmmnmnnmmnmpxxttyyttFxxttyyttxxyy++∂=∂∂∂∂…………………………„(n+m)维联合概率密度()()()()1''1(),,;,,mnnmXtXtYtYt⎡⎤+⎣⎦……对于维随机向量,,nmnmnmnmnmFFFppp++∀==若有或()()Xtt∼和Y相互独立2009-9-961随机过程的一般表述(5)„两随机过程的数字特征()()1212212,()();;;XYRttEXtYtxypxtytdxdy∞∞−∞−∞==⎡⎤⎣⎦∫∫„互相关函数(){}()1211221212,()()()(),()()XYXYXYXYCttEXtmtYtmtRttmtmt=−−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=−„互协方差函数()1212,,,0XYttCtt∀=若有()()Xtt∼和Y不相关2009-9-972平稳随机过程(1)„狭义平稳(严平稳)()()12121212,,;,,,,;,,,nnnnnnpxxxtttpxxxtttnττττ=+++∀…………，„一维分布与时间无关，二维分布只与时间间隔(t2–t1)有关()()111111;;pxtpxtτ=+()()2121221212,;,,;,pxxttpxxttττ=++„数字特征[][]222()()()XXXEXtmDXtEXtmσ⎧=⎪⎨⎡⎤=−=⎪⎣⎦⎩()()()()()1221212,,()XXXXXXXRttRttRCttRmCτττ⎧=−=⎪⎨=−=⎪⎩„广义平稳(宽平稳)[](1)()XEXtm=()()12(2),XXRttRτ=()11px=()21221,;pxxtt=−2009-9-982平稳随机过程(2)„各态历经性(遍历性)：随机过程的任一实现，经历了随机过程的所有可能状态遍历过程必定是平稳过程，反之不然。1()lim()21()()lim()()2TTTTTTxtxtdtTxtxtxtxtdtTττ+→∞−→∞−⎧=⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩∫∫„随机过程的数字特征，可以由其任一实现(样本函数)的数字特征来代表()()()()XXmxtRxtxtττ⎧=⎪⎨=+⎪⎩遍历时间平均代替统计平均2009-9-992平稳随机过程(3)„实平稳随机过程的自相关函数()2(0)XEXtR⎡⎤=⎣⎦()()XXRRττ=−()(0)XXRRτ≤„偶函数：„有界性：„周期性：()(),()().XXXtXtTRRTττ=+=+若则„统计平均功率：()2()EXtR⎡⎤=∞⎣⎦„直流功率：2(0)()XXXRRσ=−∞„交流功率：()()()limREXtXtττ→∞⎡⎤∞=+⎣⎦∵()()EXtEXtτ⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦()2EXt⎡⎤=⎣⎦2009-9-9102平稳随机过程(4)„平稳随机过程的功率谱密度(统计平均)()2()()limTXxTEFPEPTωωω→∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦==⎡⎤⎣⎦()()TTxtFω⇔注：()0■XPω≥()()■XXRPτω−⇔维纳辛钦定理：()()102■XXRPdωωπ∞−∞=∫„单边功率谱密度(实平稳随机过程)2(),0()0,0XXPGωωωω⎧=⎨⎩()012XGdωωπ∞=∫()02XGfdfπ∞=∫2009-9-9112平稳随机过程(5)()()[]()()()0012sin,0,2,■XXXttXtRttPωθωθπω=+∼例.为常数，上均匀分布的随机变量.求的和。()()0sin■XmtEtωθ⎡⎤=+⎣⎦[][]00sincoscossintEtEωθωθ=[phone]sincoscossin22tdtdππωθθωθθππ=⋅+⋅∫∫00sincoscossinEttωθωθ=+⎡⎤⎣⎦0=()()()120102,sinsin■XRttEttωθωθ⎡⎤=++⎣⎦()(){}021012coscos22Ettttωωθ⎡⎤⎡⎤=−−++⎣⎦⎣⎦()0211cos02ttω=−−()Xt∴是广义平稳随机过程()()()()002■XXPRπωτδωωδωω⎡⎤⎡⎤==−++⎣⎦⎣⎦F01cos2ωτ=2009-9-9123高斯过程(1)„定义：任意n维概率密度是正态分布式()()12122121112,,;,,11exp22nnnnnjjkknjkjkjknpxxxtttxaxaσσπσσσ==⎡⎤⎛⎞−⎛⎞−=⋅−⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦∑∑……BBB„性质：„概率密度函数仅取决于各随机变量的均值、方差和两两之间的归一化协方差函数(相关系数)„广义平稳⇔狭义平稳„各随机变量之间互不相关⇔统计独立2009-9-9133高斯过程(2)„一维正态分布()2121()exp22xapxσπσ⎡⎤−⎢⎥=−⎢⎥⎣⎦„关于a对称:p1(a+x)=p1(a-x)„在点a处取极大值:12πσ111()()2aapxdxpxdx∞−∞==∫∫()()11■apxpxσ∼∼左右平移宽窄112πσ1σ2σ12σσax()fx2009-9-9143高斯过程(3)„概率积分函数:()()xxaFxpzdzσ−∞−⎛⎞==Φ⎜⎟⎝⎠∫21()exp22xzxdzπ−∞⎛⎞Φ=−⎜⎟⎝⎠∫202()xterfxedtπ−=∫()1()erfcxerfx=−()()221erfxx=Φ−„标准化正态分布:21()exp22xpxπ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠„概率分布函数:„误差函数:2009-9-9154平稳随机过程通过线性系统(1)()Xt()Yt„输出随机过程的均值()()()EYtEXtuhudu∞−∞⎡⎤⎡⎤=−⎣⎦⎢⎥⎣⎦∫()()0XXmhudumH∞−∞==∫„输出随机过程的自相关函数与功率谱密度()()(),YRttEYtYtττ⎡⎤+=+⎣⎦()()()XRuvhuhvdudvτ∞∞−∞−∞=+−∫∫()YRτ=平稳()()()()2YYXPRPHωτωω⎡⎤==⎣⎦F()xt()()()ytxtht=∗()ht()()EXtuhudu∞−∞⎡⎤=−⎣⎦∫2009-9-9164平稳随机过程通过线性系统(2)()()■XtYt和的互相关函数与互功率谱密度()()(),XYRttEXtYtττ⎡⎤+=+⎣⎦()()XRhττ=∗()()()()XYXYXPRPHωτωω⎡⎤==⎣⎦F()()()0,2■XNXtRτδτ=例.若输入为白噪声即，则()()()()0022XYNNRhhτδτττ=∗=()XYRτ≈()01()()TXYRXtYtdtTττ=−∫()02Nhτ=()Yt()ht()Xtτ延迟()01TdtT∫2009-9-9174平稳随机过程通过线性系统(3)()sgn()Hjωω=−()()()().■XXtRXtXtτ例.已知的自相关函数，求和的相关特性1()()XtXttπ=∗()()()2■XXPHPωωω=()()XXRRττ=()()1■XXXRRττπτ=∗()()XXXXRRττ=−奇函数奇函数()()000■XXXXRR==()()XtXt与同一时刻互不相关高斯独立()■Xt∼正态随机过程()Yt∼正态随机过程线性变换()()XYYXRRττ=−()XPω=()ˆXRτ=()ˆXRτ=−2009-9-9185窄带随机过程(1)„定义：cffΔ()()cos()cXtatttωϕ=+⎡⎤⎣⎦()()cossinccscXttXttωω=−:cffΔ1%~窄带；1%至20%~宽带；20%~超宽带()cωωΔ()()()()cjtLztXtjXtXteω=+=()()()()()jtLcsXtXtjXtateϕ=+=其中()()ReRe()cjtLXtztXteω⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦()■Xt的等效低通表示复包络复载波2009-9-9195窄带随机过程(2)()()()4zXPPuωωω=()■LXt的自相关函数和功率谱密度()()()*zREztztττ⎡⎤=+⎣⎦■()()()()XXXXXXRRjRjRττττ=++−()()ˆ2XXRjRττ⎡⎤=+⎣⎦()()()*■LXLLREXtXtττ⎡⎤=+⎣⎦()cjzReωττ−=()()LXzcPPωωω=+cω()XPωωωΔ()XPω()LXPωωΔ()zPω基带随机过程{}()()()()EXtjXtXtjXtττ⎡⎤⎡⎤=−+++⎣⎦⎣⎦()()(){}*ccjtjtEztezteωτωτ−+=[phone]窄带随机过程(3)()()■csXtXt和的统计特性()()()LcsXtXtjXt=+()()()()cjtLztXtjXtXteω=+=()()()()()()cossincossincccsccXtXttXttXtXttXttωωωω⎧=+⎪⎨=−⎪⎩()()()00.■csEXtEXtEXt⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦若，()()().■csXtXtXt若是高斯过程，和也是高斯过程()()().■csXtXtXt若是广义平稳过程，和是联合广义平稳随机过程(互相关函数仅与时间间隔有关)()()()()ˆcossincsXXXcXcRRRRτττωττωτ==+()()()()ˆcossincsscXXXXXcXcRRRRτττωττωτ=−=−2009-9-9215窄带随机过程(4)()()()000■csXXXRRR==()()000.■csscXXXXRR=−=∼同一时刻不相关()()()()ˆcossincsXXXcXcRRRRτττωττωτ==+()()()()ˆcossincsscXXXXXcXcRRRRτττωττωτ=−=−2.σ=()0EXt⎡⎤=⎣⎦奇函数()ˆ00XR⎡⎤∴=⎣⎦高斯独立2009-9-9225窄带随机过程(5)cωωΔ对于严格限频信号，当时有■()()()(),0,csXcXcccXXPPPPωωωωωωωωω⎧