第6篇 第3讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

诊断基础知识突破高频考点培养解题能力[最新考纲]1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.第3讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题诊断基础知识突破高频考点培养解题能力知识梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线．(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C0.诊断基础知识突破高频考点培养解题能力(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．名称意义线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件目标函数关于x，y的解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足的解(x，y)可行域所有组成的集合最优解使目标函数达到或的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的或_________的问题线性约束条件可行解最大值最小值最大值最小值诊断基础知识突破高频考点培养解题能力辨析感悟1．对二元一次不等式(组)表示的平面区域的认识(1)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0.()(2)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy＜0表示．()(3)(2013·广东卷改编)已知变量x，y满足约束条件x－y＋3≥0，－1≤x≤1，y≥1，则其表示的平面区域的面积为4.()√√√诊断基础知识突破高频考点培养解题能力2．对简单的线性规划问题的理解(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．()(5)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．()(6)(2013·课标全国Ⅱ卷改编)设x，y满足约束条件x－y＋1≥0，x＋y－1≥0，x≤3，则z＝2x－3y的最小值是－6.()√×√诊断基础知识突破高频考点培养解题能力[感悟·提升]1．确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．2．求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.诊断基础知识突破高频考点培养解题能力考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】(1)直线2x＋y－10＝0与不等式组x≥0，y≥0，x－y≥－2，4x＋3y≤20表示的平面区域的公共点有()．诊断基础知识突破高频考点培养解题能力A．0个B．1个C．2个D．无数个(2)(2014·济南模拟)不等式组2x＋y－6≤0，x＋y－3≥0，y≤2表示的平面区域的面积为()．A．4B．1C．5D．无穷大诊断基础知识突破高频考点培养解题能力解析(1)由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x＋y－10＝0恰过点A(5,0)，且其斜率k＝－2＜kAB＝－43，即直线2x＋y－10＝0与平面区域仅有一个公共点A(5,0)．诊断基础知识突破高频考点培养解题能力(2)不等式组2x＋y－6≤0，x＋y－3≥0，y≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即为所求．求出点A，B，C的坐标分别为(1,2)，(2,2)，(3,0)，则△ABC的面积为S＝12×(2－1)×2＝1.答案(1)B(2)B诊断基础知识突破高频考点培养解题能力规律方法二元一次不等式组所确定的平面区域是不等式组中各个不等式所表示的半平面区域的公共部分，画出平面区域的关键是把各个半平面区域确定准确，其基本方法是“直线定界、特殊点定域”．诊断基础知识突破高频考点培养解题能力【训练1】若不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0，x＋y≤a表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()．A.43，＋∞B．(0,1]C.1，43D．(0,1]∪43，＋∞诊断基础知识突破高频考点培养解题能力答案D解析不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求A，B两点的坐标分别为23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x＋y＝a的a的取值范围是0＜a≤1或a≥43.诊断基础知识突破高频考点培养解题能力考点二线性目标函数的最值【例2】(1)(2013·天津卷)设变量x，y满足约束条件3x＋y－6≥0，x－y－2≤0，y－3≤0，则目标函数z＝y－2x的最小值为()．A．－7B．－4C．1D．2诊断基础知识突破高频考点培养解题能力(2)(2013·新课标全国Ⅰ卷)设x，y满足约束条件1≤x≤3，－1≤x－y≤0，则z＝2x－y的最大值为________．诊断基础知识突破高频考点培养解题能力解析(1)由x，y满足的约束条件可画出所表示的平面区域为如图所示的△ABC，作出直线y＝2x，经过平移得目标函数z＝y－2x在点B(5,3)处取得最小值，即zmin＝3－10＝－7.故选A.诊断基础知识突破高频考点培养解题能力(2)约束条件所表示的可行域为四边形ABCD(如图)，由z＝2x－y，得y＝2x－z.－z的几何意义是直线y＝2x－z在y轴上的截距，要使z最大，则－z最小，所以当直线y＝2x－z过点A(3,3)时，z最大，最大值为2×3－3＝3.答案(1)A(2)3诊断基础知识突破高频考点培养解题能力规律方法(1)求目标函数最值的一般步骤为：一画、二移、三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．(2)在约束条件是线性的情况下，线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值．在解答选择题或者填空题时可以根据可行域的顶点直接进行检验．诊断基础知识突破高频考点培养解题能力【训练2】(2013·浙江卷)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足x＋y－2≥0，x－2y＋4≥0，2x－y－4≤0.若z的最大值为12，则实数k＝________.解析约束条件所表示的可行域为如图所示的△ABC，其中点A(4,4)，B(0,2)，C(2,0)．目标函数z＝kx＋y，化为y＝－kx＋z.当－k≤12，即k≥－12时，目标函数z＝kx＋y在点A(4,4)取得最大值12，故4k＋4＝12，k＝2，满足题意；诊断基础知识突破高频考点培养解题能力答案2当－k12即k－12时，目标函数z＝kx＋y在点B(0,2)取得最大值12，故k·0＋2＝12，无解，综上可知，k＝2.诊断基础知识突破高频考点培养解题能力考点三线性规划的实际应用【例3】(2013·湖北卷)某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为()．A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元诊断基础知识突破高频考点培养解题能力审题路线确定问题属于线性规划问题⇒设A，B两种型号车辆的数量为x，y，租金为z⇒读题，列出线性约束条件及目标函数⇒画出可行域⇒把目标函数变形，平移，确定最小值经过的点⇒解两直线的交点⇒点代入目标函数可得．诊断基础知识突破高频考点培养解题能力解析设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y辆，租金为z，则线性约束条件为x＋y≤21，y－x≤7，36x＋60y≥900，x、y∈N，目标函数为z＝1600x＋2400y.画出可行域：如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值zmin＝36800(元)．答案C诊断基础知识突破高频考点培养解题能力规律方法含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．诊断基础知识突破高频考点培养解题能力【训练3】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()．A．50,0B．30,20C．20,30D．0,50诊断基础知识突破高频考点培养解题能力答案B解析设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x，y亩，则总利润z＝4×0.55x＋6×0.3y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y.此时x，y满足条件x＋y≤50，1.2x＋0.9y≤54，画出可行域如图，得最优解为A(30,20)，故选B.诊断基础知识突破高频考点培养解题能力1．平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)．2．求最值：求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．最优解在顶点或边界取得．诊断基础知识突破高频考点培养解题能力3．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．诊断基础知识突破高频考点培养解题能力思想方法7——利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值【典例】已知实数x，y满足x＋y－3≥0，x－y＋1≥0，x≤2.(1)若z＝yx，求z的最大值和最小值；(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值和最小值．诊断基础知识突破高频考点培养解题能力解不等式组x＋y－3≥0x－y＋1≥0x≤2表示的平面区域如图所示，图中的阴影部分即为可行域．易得A(1,2)，B(2,1),M(2,3)．(1)∵z＝yx＝y－0x－0，∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率，观察图形可知zmax＝kOA＝2，zmin＝kOB＝12.所以z的最大值为2，最小值为12.诊断基础知识突破高频考点培养解题能力(2)过原点(0,0)作直线l垂直于直线x＋y－3＝0，垂足N，则直线l的方程为y＝x，由x＋y－3＝0，y＝x，得N32，32，点N32，32在线段AB上，也在可行域内．观察图象可知，可行域内点M到原点的距离最大，点N到原点的距离最小，又|OM|＝13，|ON|＝92，即92≤x2＋y2≤13，∴92≤x2＋y2≤13.∴z的最大值为13，最小值为92.诊断基础知识突破高频考点培养解题能力[反思感悟](1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．(3)本题错误率较高．出错原因是，很多学生无从入手，缺乏数形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题．诊断基础知识突破高频考点培养解题能力【自主体验】(2012·福建卷)若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥m，则实数m的最大值为()．A.12B．1C.32D．2诊断基础知识突破高频考点培养解题能力答案B解析在同一直角坐标系中作出函数y＝2x的图象及x＋y－3≤0，x－2y－3≤0所表示的平面区域，如图