通信原理的随机信号分析

3.1随机过程的基本概念3.2平稳随机过程3.3高斯随机过程3.4平稳随机过程通过线性系统3.5窄带随机过程3.6正弦波加窄带高斯过程3.7高斯白噪声和带限白噪声第3章随机过程作业P613-33-53-83-93-143.1随机过程的基本概念自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类：①一类是其变化过程具有确定的形式，用数学语言来说，其变化过程可以用一个或几个时间t的确定函数来描述，这类过程称为确定性过程。②另一类过程没有确定的变化形式，也就是说，每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律，用数学语言来说，这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述，这类过程称为随机过程。图3-1样本函数的总体2xt0t21xtt总体0,0,值附近概率值大离值远概率平滑减少nxt0t1t2t概率:v噪声值(高斯分布)t11xt1xtn1xt由此我们给随机过程下一个更为严格的定义：每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作xi(t)；所有可能出现的结果的总体{x1(t),x2(t)，…,xn(t)，…}就构成一随机过程，记作ξ(t)。简言之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。在纵向：是随机变量，是样本。1i1xt,i1,2,...nt随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。在横向：仅是一个实现，或者说是样本函数。112xtt时间序列：，，，设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1∈T，其取值ξ(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。我们把随机变量ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率P［ξ(t1)≤x1］，简记为F1(x1,t1)，即F1(x1,t1)=P［ξ(t1)≤x1］(3.1-1)式(3.1-1)称为随机过程ξ(t)的一维分布函数。如果F1(x1,t1)对x1的偏导数存在，即有3.1.1随机过程的分布函数),(),(1111111txfxtxF则称f1(x1,t1)为ξ(t)的一维概率密度函数。显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，为此需要进一步引入二维分布函数。任给两个时刻t1,t2∈T，则随机变量ξ(t1)和ξ(t2)构成一个二元随机变量{ξ(t1),ξ(t2)}，称F2(x1,x2;t1,t2)=P｛ξ(t1)≤x1,ξ(t2)≤x2｝(3.1-3)为随机过程ξ(t)的二维分布函数。如果存在22121,22121212(,;)(,;,)Fxxttfxxttxx则称f2(x1,x2;t1,t2)为ξ(t)的二维概率密度函数。同理，任给t1,t2,…,tn∈T,则ξ(t)的n维分布函数被定义为Fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=P｛ξ(t1)≤x1,ξ(t2)≤x2,…,ξ(tn)≤xn｝)...,,;...,,(...)...,...;,(2121212,121nnnnnnntttxxxfxxxtttxxF若则称fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)为ξ(t)的n维概率密度函数。显然，n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分，但问题的复杂性也随之增加。在一般实际问题中，掌握二维分布函数就已经足够了。3.1.2随机过程的数字特征分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性,但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而它的某些数字特征却比较容易估算出来，并且在许多实际问题中只需要知道这些数字特征就可以了。1.数学期望随机过程ξ(t)的数学期望为11,Etxfxtdxata(t)是时间t的函数，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。2.方差D［ξ(t)］常记为σ2(t)，它表示样本偏离均值的程度。称E［ξ2(t)]］为均方值。称方差的平方根σ(t)为标准差、均方差或均方根差。2DtEtEt22{2}EttEtEt222EtEtEtEt22EtEt3.自相关函数和自协方差函数均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关，因而它们描述了随机过程在各个孤立时刻的特征。为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系，还需利用二维概率密度引入新的数字特征。衡量同一随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联程度时，常用协方差函数B(t1,t2)和相关函数R(t1,t2)来表示。自协方差函数定义为式中，t1与t2是任取的两个时刻；a(t1)与a(t2)为在t1及t2时刻得到的数学期望；f2(x1,x2;t1,t2)为二维概率密度函数。特例：当t1=t2=t时，B(t1,t2)=D［ξ(t)］用途：用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否相关。21212122211221121),;,()]()][([])()()][()([),(dxdxttxxftaxtaxtattatEttB自相关函数定义为二者的关系:B(t1,t2)=R(t1,t2)-a(t1)a(t2)用途：a用来判断广义平稳；b用来求解平稳随机过程的功率谱密度及平均功率。2121212212121),;,()]()([),(dxdxttxxfxxttEttRB(t1,t2)=E{[ξ(t1)-a(t1)][ξ(t2)-a(t2)]}12122112Etttattatatat12122112EttEtatEtatatat12121212EttatatatatatatB(t1,t2)=R(t1,t2)-a(t1)a(t2)若a(t1)=0或a(t2)=0，则B(t1,t2)=R(t1,t2)若t2＞t1，并令t2=t1+τ，则R(t1,t2)可表示为R(t1,t1+τ)。这说明，相关函数依赖于起始时刻t1及t2与t1之间的时间间隔τ,即相关函数是t1和τ的函数。由于B(t1,t2)和R(t1,t2)是衡量同一过程的相关程度的，因此，它们又常分别称为自协方差函数和自相关函数。对于两个或更多个随机过程，可引入互协方差及互相关函数。设ξ(t)和η(t)分别表示两个随机过程，则互协方差函数定义为Bξη(t1,t2)=E｛［ξ(t1)-aξ(t1)］［η(t2)-aη(t2)］｝互相关函数定义为Rξη(t1,t2)=E［ξ(t1)η(t2)］3.2平稳随机过程3.2.1定义设随机过程{ξ(t)，t∈T},若对于任意n和任意选定t1＜t2＜…＜tn,tk∈T，k=1,2,…,n，以及τ为任意值，且x1,x2,…,xn∈R，有：fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=fn(x1,x2,…,xn;t1+τ,t2+τ,…,tn+τ)(3.2-1)则称ξ(t)是严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。该定义说明，平稳随机过程的概率密度函数并不随着时间的推移而变化，即狭义平稳随机过程是统计特性与时间起点无关的随机过程。具体到它的一维分布和二维分布：f1(x1,t1)=f1(x1,t1+τ)=f1(x1)(3.2-2)即一维分布与时间t无关f2(x1,x2;t1,t2)=f2(x1,x2;t1+τ,t2+τ)=f2(x1,x2;τ)(3.2-3)二维分布只与时间间隔τ有关数字特征：可见（1）其均值与t无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔有关。adxxfxtE1111)()()();,()]()([),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR对于随机过程ξ(t)，若满足(1)a(t)=a(2)R(t1,t1+τ)=R(τ)则ξ(t)为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。可见狭义平稳必定是广义平稳，广义平稳不一定狭义平稳。通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，均假定是平稳的，且均指广义平稳随机过程，简称平稳过程。3.2.2各态历经性平稳随机过程在满足一定条件下，有“各态历经性”这种平稳随机过程，它的数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的数字特征（均为时间平均）来替代。假设x(t)是平稳随机过程ξ(t)的任意一个实现，它的时间均值和时间相关函数分别为2/2/)(1)(limTTTdttxTtxa2/2/)()(1)()()(limTTTdttxtxTtxtxR如果平稳随机过程以概率1使下式成立：aa)()(RR则称该平稳随机过程具有各态历经性。“各态历经”的含义：①随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态，任一实现都能代表整个随机过程。②因此，我们无需（实际中也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。注意：具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。3.2.3平稳随机过程的自相关函数设ξ(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数R(τ)=E［(ξ(t)ξ(t+τ)］具有下列主要性质：(1)R(0)=E[ξ2(t)]=S，ξ(t)的平均功率尽管平稳随机过程的总能量是无穷的，但平均功率为有限值。(2)R(∞)=E2[ξ(t)]，ξ(t)的直流功率2limlimtt+REttEtEtaaEt（时，()和()统计独立）(3)R(0)-R(∞)=σ2，方差，ξ(t)的交流功率当均值为0时，有R(0)=σ2。2222222222200DtEtaEtataEtaEtaEtaaaRaRR(4)|R(τ)|≤R(0)，R(τ)的上界R(0)自己和自己相关值最大，因此τ≠0的相关值小于R(0)。222220202020200EttEttttEtEttEtRRRR(5)R(τ)=R(-τ)，τ的偶函数R(-τ)=E[(ξ(t)ξ(t-τ)]=E[(ξ(t’+τ)ξ(t’)]=R(τ)平稳过程的自相关函数只与时间间隔有关,|τ|～间隔。3.2.4平稳过程的功率谱密度随机过程中的任一实现是一个确定的功率型信号。因此随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。而对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为TFPTTf2)()(limFT(ω)是f(t)的截短函数fT(t)所对应的频谱函数。我们可以把f(t)看成是平稳随机过程ξ(t)中的任一实现，过程的功率谱密度应看做是任一实现的功率谱的统计平均，即2()()[()][]limTfTFPEPETξ(t)的平均功率S则可表示成2()11()22limTTEFSPddT虽然上式给出了平稳随机过程ξ(t)的功率谱密度Pξ(ω)，但我们很难直接用它来计算功率谱。那么，如