高三数学立体几何专题训练

高三数学立体几何专题训练【考点】1.三视图；2求体积；3证线面垂直(垂直关系)；4求二面角的平面角；5求线面角；6求异面直线所成角；7.求三角形面积；8判断平行、垂直、相交、重合位置关系。【复习建议】本题为低中档，一般分为两小问，可得满分。第(1)问，一般考查平行与垂直的证明及相关问题，需要同学掌握好平行与垂直的证明的有关定理，并注意证明过程的书写规范，如能建系。也可用向量法；第(2)问一般研究空间角，如用综合法请注意证明过程。如用空间向量需注意：异面直线所成角(一定不大于900)、线面所成角(此类题最容易错，记住所求向量的夹角的余弦为线面所成角的正弦)、二面角(注意观察是钝角还是锐角，一般情况下是锐角)。向量法建系要用黑色签字笔在答题卡上建，并用文字说明，注意检查所写的点或向量坐标有无错，注意用向量数量积公式求夹角余弦时的运算，注意是否作答。特别的说明：广东近年的立体几何题图形都比较新颖特别，但其实都很简单，无需紧张。用向量还是综合法，视题目(更适合哪种方法)和个人情况而定。最后适当注意：求解线面所成角要转换(比如线面所成角的正弦与向量夹角的余弦关系)和翻折问题。下面的例题仅供参考。【题例】1.如图3所示，在四面体P—ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，342PB．F是线段PB上一点，341715CF,点E在线段AB上且EF⊥PB．(I)证明：PB⊥平面CEF；(Ⅱ)求二面角B—CE-F的正切。选题目的，练好计算(包括三角形各边，二面角求解)练好规范；判定是否适用向量。2．翻折问题．体积问题．函数导数)如图6所示，等腰△ABC的底边66AB,高CD=3，点E是线段BD上异于点B,D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V(x)表示四棱锥P一ACEF的体积.(1)求V(x)的表达式；(2)当x为何值时，V(x)取得最大值?(3)当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值3、(组合图形问题)如图所示：边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且2DE,ED∥AF,且∠DAF=900(1)求BD和面BEF所成的角的正弦；(2)线段EF上是否存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，若存在，求EP与PF的比值；若不存在，说明理由。总结：解决存在性问题方法：1．先假设存在，再去推理，下结论：2．运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论,然后再根据条件给出证明或计算。4．(视图，无棱二面角问题)四棱锥P—ABCD的底面与四个侧面的形状和大小如图所示．(1)写出四棱锥P一ABCD中四对线面垂直关系(不要求证明)；(2)在四棱锥P--ABCD中，若E为PA的中点，求证：BE∥平面PCD；(3)在四棱锥P一ABCD中，设面PAB与面PCD所在的角为θ(00θ≤900)，求cosθ的值．5．(无棱二面角问题)如图，四棱锥S一ABCD的底面是边长为l的正方形．SD垂直于底面ABCD，.3SB(1)求证：BC⊥SC(2)求面ASD与面BSC所成二面角的大小；(3)设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．6．如图①边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、BC的中点，将ABEF剪去，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点P得一三棱锥如图②示．(1)求证：PD⊥EF：(2)求三棱锥P—DEF的体积；(3)求DE与平面PDF所成角的正弦值．7、如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=600，Q为AD的中点。(1)若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；(2)点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB(3)在(2)的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2求二面角M—BQ-C的大小。8．(本小题满分l4分)如图，△ABC是以∠ABC为直角的三角形，SA⊥平面ABC，SA=BC=2。AB=4．M、N、D分别是SC、AB、BC的中点。(1)求证：MN⊥AB；(2)求二面角S-ND—A的余弦值：(3)求点A到平面SND的距离。参考答案l(I)证明：2221006436PCACPA∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形．故PA⊥平面ABC,又3061021||||21BCACSPBC而PBCSCFPB3017341534221||||21,故CF⊥PB，又已知EF⊥PB∴PB⊥平面CEF(II)由(I)知PB⊥CE，PA⊥平面ABC．∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1⊥平面ABC，EFl是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC,故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角．35610tantanAPABBPAFEB二面角B—CE一F的正切为35说明：本题不适宜用向量2(1)由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，2212654,69xSxSSBDCAEFABC)630)(1219(36)(2xxxxV(2))419(36)(2xxV所以)6,0(x时，)(,0)(xVxV单调递增；636x时,)(,0)(xVxV单调递减；因此6x时，V(x)取得最大值.612(3)过F作MT∥AC交AD与M，则26,122,21PMBEMBABBEBDBEBCBFABBM4295436636BCPFBFMF在△PFM中，72427284cosPFM∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为723解(1)因为AC、AD、AB两两垂直，建立如图坐标系，则B(2，0，0)，D(0，0，2)E(1，l，2)，F(2，2，0)。则)0,2,0(),2,1,1(),2,0,2(BFBEDB设平面BEF的法向量),,(zyxn,则x,0,02yzy则可取),1,0,2(n∴向量DB和)1,0,2(n所成角的正弦为1010)2(21220222222即BD和面BEF所成的角的正弦1010(2)假设线段EF上存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，不妨设)0(mPFmEP则P点坐标为)12,121,121(mmmmm则向量)12,121,121(mmmmmAP向量)12,11,121(mmmmCP所以,012)2(12101212mmmmm所以21m故存在这样的点P，当点P为EF中点时，BD⊥面PAC4．解(1)如图，在四棱锥P一ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB，AB⊥平面PAD．(2)依题意AB、AD、AP两两垂直，分别以直线AB、AD、AP为zyx、、轴，建立空间直角坐标系，如图．则P(0，0，2)，B(2，0，0),C(2,2，0)，D(0，4，0)．∵E是PA中点，∴点E的坐标为(0，0，1)，)2,4,0(),2,2,2(,1,0,2PDPCBE设),,(1zyxn是平面PCD的法向量．由PDnPCn11.，即0240222zyzyx取y=1，得)2,1,1(1n为平面PCD的一个法向量．//,n,021101211BEBEnBE平面PCD.又BE平面PCD，∴BE∥平面PCD．(3)由(2)，平面PCD的一个法向量为)2,1,1(1n又∵AD⊥平面PAB，∴平面PAB的一个法向量为6661|cos),0,1,0(21212nnnnn5、方法一．解：(1)如图建立空间直角坐标系．则有B(1,1，0)，C(0，1，0)，S(0，0,1)于是)1,1,0(),0,0,1(SCBC.于是0SCBC所以SCBC,于是BC⊥SC，(2)显然平面ASD的法向量为)0,1,0(n,设平面SCB的法向量为),1,,(2yxn则有SCnBCn22,,即010yx,解得)1,1,0(2n由于22,cos21nn所以1n与2n的夹角为450，由图可以判断面ASD与面BSC所成的角为锐角，因此与1n与2n的夹角相等，从而面ASD与面BSC所成的角为450．(3)M点坐标为)21,0,21(于是)21,0,21(DM，而)1,1,1(SB,并且0,cosSBDM于是DM⊥SB，即异面直线DM与SB所成角的为900：方法二：几何法更快6．(1)证明：依题意知图①折前AD⊥AE,CD⊥CF．∴PD⊥PE，PF⊥PD，……2分PPFPE,∴PD⊥平面PEF………3分又EF平面PEF∴PD⊥EF………4分(2)解法l：依题意知图①中2121PFPECFAE在△BEF中222BEEF在△PEF中PFPEEFPFPE2228121212121PFPESPEF…………7分2411813131PDSVVPEFPEFDDEFP………8分(2)解法2：依题意知图①中2121PFPECFAE在△BEF中222BEEF……………………5分取EF的中点M，连结PM,则PM⊥EF4222EMPEPM…………6分8142222121PMEFSPEF……………7分2411813131PDSVVPEFPEFDDEFP…………8分(3)由(2)知PE⊥PF,又PE⊥PD∴PE⊥平面PDF…………10分∴∠PDE为DE与平面PDF所成的角，…………………………11分在Rt△PDE中．21,2541122PEPEPDDE……………l2分552521sinDEPEPDE…………14分7．解：(1)连BD，四边形ABCD菱形，∵AD⊥AB，∠BAD=600,△ABD为正三角形，Q为AD中点，∴AD⊥BQ,∵PA=PD，Q为AD的中点，AD⊥PQ,又BQ∩PQ=Q．∴AD⊥平面PQB，AD平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD(2)当31t时，PA∥平面MQB,下面证明，若PA∥平面MQB，连AC交BQ于N,由AQ∥BC,可得ANQ∽BNC,21NCANBCAQ即31NCAN∵PA∥平面MQB，PA平面PAC,平面PAC∩平面MQB=MN，∴PA∥MN31ACANPCPM即：PCPM31,31t(3)由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，则PQ⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为)3,0,0(),0,0,0(),0,3,0(),0,0,1(PQBA)0,3,0(),3,3,2(),0,3,2(),0,23,0(QBPCCN令cbaM,,,则)3,,(cbaPM,由PCPM31,得点的坐标)332,33,32(M,),332,63,32(MN设平面MQB的法向量为)1,,(yxn,可得00MNnQBn,MNPA//,∴00PAnQBn,解得)1,0,3(n取平面ABCD的法向量21,cos1,0,0nmnmnmm又因为二面角M—BQ—C为锐二面角，所以其大小为600。8(1)略证：作ME⊥AC，连接NE，可证得AB⊥平面MNE,即得MN⊥AB……4分过A作AF垂直DN且与DN的延长线相交于点F，连接SF在△DBN中,21tanBNDBDNB,55sinDNB在Rt△AFN中,552sinDNBANAF在Rt△SAF中,55