4.3 相似矩阵与方阵的对角化

一、相似矩阵及其性质.,,,,,1相似与或说矩阵的相似矩阵是则称使若有可逆矩阵阶矩阵都是设定义BAABBAPPPnBA1-§4.3相似矩阵与方阵的对角化20041513,,20045111151361616165,61616165,5111,2004,151311即则BABAPPPPBA1.相似矩阵有相同的秩。2.相似矩阵的行列式相等。3.相似矩阵或都可逆或都不可逆。当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。相似矩阵的性质：矩阵的相似关系是一种等价关系！,,.nABABAB若阶矩阵与相似则与的特征多项式相同从而与的特征值亦相同4.证明相似与BA11EBPEPPAP1PEAP1PEAP.EABAPPP1,使得可逆阵推论若阶方阵A与对角阵nn21.,,,,21个特征值的即是则相似nAn.,,,1对角化这就称为把方阵为对角阵使若可找到可逆矩阵阶方阵对AAPPPAn证明必要性：,,1为对角阵使假设存在可逆阵APPP.,,,21npppPP用其列向量表示为把.)(5.4个线性无关的特征向量有的充分必要条件是能对角化即与对角矩阵相似阶矩阵定理nAAAn二、n阶矩阵与对角矩阵相似的条件nnnppppppA212121,,,,,,即.,,,2211nnpppnnApApAppppA,,,,,,2121.,,2,1nipApiii于是有nppp,,,211,,1PAPAPP得由.,的特征向量的对应于特征值就是的列向量而的特征值是可见iiiApPA.,,,,21线性无关所以可逆又由于npppP121211221212,,,,,,,,,,,,,,,,nnnnnnAnnnPAPApppApApApppppppP反之由于恰好有个特征值并可对应地求得个特征向量这个特征向量即可构成矩阵矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．P充分性：说明如果阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似．推论nAAn如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化，但如果能找到个线性无关的特征向量，还是能对角化．（充分而不必要）AAnnA例1460350361A特征值-2，1（二重），相应特征向量：(-1,1,1)T,(-2,1,0)T,(0,0,1)T定理4.6实对称矩阵的特征值为实数.证明,,对应的特征向量为复向量的特征值为对称矩阵设复数xA.0,xxAx即,的表示用共轭复数xAxA则.xxAx（一）、对称矩阵的性质说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵．,的表示xx共轭复向量三、实对称矩阵的对角化于是有AxxTAxxT及AxxTxxT,xxTxAxTTxxATxxT.xxT两式相减，得.0xxT,0x但因为,0,即.是实数由此可得,0121niiniiiTxxxxx所以xAxA则.xxAx定理4.6的意义.,0,0)(,以取实向量从而对应的特征向量可系知必有实的基础解由是实系数方程组线性方程组所以齐次为实数的特征值由于对称矩阵EAxEAAiii,,,.12121212λ,λAp,pλλpp设是实对称矩阵的两个特征值是对应的特征向量若则与正交证明,,,21222111AppApp,,AAAT对称TTTAppp11111,11ApApTTT于是22121211ppAppppTTT,212ppT.02121ppT,21.21正交与即pp.021ppT定理4.7,,,.1AnPPAPΛΛAn设为阶对称矩阵则必有正交矩阵使其中是以的个特征值为对角元素的对角矩阵定理4.8如果n阶实对称矩阵A有m个不同的特征值其重数分别为则12m,，12m,kkk，12mkkkn+根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：（二）、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.;,0的特征向量求出由AxEAi1.;的特征值求A5.将这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵P.ΛAPP1矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．P解20212022EA2140.2,1,4321得,020212022)1(A310130004)2(A例对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.APP1P(1)第一步求的特征值A的特征向量求出由第二步AxEAi,0得由对,04,41xEA04202320223232121xxxxxxx解之得基础解系.1221得由对,0,12xEA0202202323121xxxxxx解之得基础解系.2122得由对,02,23xEA02202320243232121xxxxxxx解之得基础解系.2213第三步将特征向量正交化.,,,3,,321321故它们必两两正交的特征向量个不同特征值的是属于由于A第四步将特征向量单位化.3,2,1,iiii令,3132321得,3231322.3232313,22121212231,,321P作.2000100041APP则310130004)2(A310130004EA,422.4,2321得特征值得基础解系由对,02,21xEA1101得基础解系由对,04,432xEA.110,00132,32恰好正交与.,,321两两正交所以得令单位化再将3,2,1,,,321iiii,212101,0012.212103a)相似矩阵有相同的秩。b)相似矩阵的行列式相等。c)相似矩阵或都可逆或都不可逆。当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。1.相似矩阵,,.nABABAB若阶矩阵与相似则与的特征多项式相同从而与的特征值亦相同三、小结d)性质：-1PAPB2.对称矩阵的性质：(1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值．3.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量正交化；(4)单位化．作业P138A10（几种方法）1314(1)