4.3(协方差及相关系数、矩)

4.3协方差及相关系数、矩对于二维随机变量(X，Y)，除了讨论X与Y的数学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征：协方差和相关系数．4.3.1协方差由4.2.2中方差的性质(3)知,若随机变量X与Y相互独立,则D(X+Y)=D(X)+D(Y),也就是说,当随机变量X与Y相互独立时,有E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}=0成立,这意味着当E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}0时,X与Y不相互独立,由此可见这个量的重要性．4.3.1协方差定义4.4设有二维随机变量(X，Y)，如果E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}存在，则称其为随机变量X与Y的协方差．记为Cov(X，Y)，即Cov(X，Y)=E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}这样，上节中方差的性质(3)可改写为D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)由(4.9)式及(4.10)式知协方差的表达式可以表示为Cov(X，Y)=E(XY)–E(X)E(Y)常利用这个式子来计算协方差Cov(X，Y).4.3.1协方差由协方差定义，不难知道协方差还具有以下几条性质：(1)(2)(3)，a，b为常数；(4)(5)当随机变量X与Y相互独立时，有Cov(X，Y)=0．);,(),(XYCovYXCov);(),(XDXXCov),(),(YXabCovbYaXCov);,(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov4.3.1协方差【例4.22】设随机变量(X，Y)具有概率密度其中区域G由曲线与围成，如图4-4所示，求Cov(X，Y)及D(X+Y)．解：其它,0),(,3),(Gyxyxf)(XE,20/93)(102xxydydxYE,4/13)(102xxxydydxXYE,35/93)(10222xxdydxxXE,35/93)(10222xxdydxyYE,2800/153)20/9(35/9)]([)()(222XEXEXD,20/91023xxxdydx4.3.1协方差,2800/153)()(XDYD,400/19)()()(),(YEXEXYEYXCov.700/143),(2)()()(YXCovYDXDYXD§4.3协方差及相关系数、矩4.3.2相关系数定义4.5称为随机变量X与Y的相关系数．相关系数XY是一个无量纲的量．XY常简记为．)()(),(YDXDYXCovXY)0)(,0)((YDXD【例4.23】在例4-22中，求相关系数XY．解：因为所以87.01531332800/153400/19)()(),(YDXDYXCovXY,400/19)()()(),(YEXEXYEYXCov4.3.2相关系数,2800/153)()(XDYD4.3.2相关系数下面不加证明地给出相关系数的两条性质：(1)|XY|1；(2)|XY|=1的充要条件是，存在常数a，b，使P{Y=aX+b}=1．定义4.6若XY=0，称X与Y不相关．0XY1，称X与Y正相关，–1XY0，称X与Y负相关．事实上,相关系数XY是X与Y线性关系强弱的一个度量,X与Y的线性关系程度随着|XY|的减小而减弱,当|XY|=1时X与Y的线性关系最强，当XY=0时，意味X与Y的不存在线性关系，即X与Y不相关.4.3.2相关系数由协方差的性质(5)当随机变量X与Y相互独立时，有Cov(X，Y)=0．易知定理4.3若X与Y相互独立，则XY=0，即X与Y不相关，反之不真．这意味着，X与Y不相关仅指X与Y之间不存在线性关系，并不能说明X与Y不具有其他关系．4.3.2相关系数【例4.24】设随机变量Z服从(–，)上的均匀分布，又X=sinZ，Y=cosZ，试求相关系数XY．解：由于因而Cov(X，Y)=0，XY=0．相关系数XY=0，说明随机变量X与Y不相关，但是，由于，所以X与Y不独立．,0sin21)(zdzXE0cossin21)(zdzzXYE,0cos21)(zdzYE122YX4.3.3矩矩的概念在后面的数理统计部分有重要应用．定义4.7设X和Y是随机变量，若E(Xk)，k=1，2，…存在，称其为X的k阶原点矩，简称k阶矩；若存在，称其为X的k阶中心矩；若存在，称其为X和Y的k+l阶混合矩；若存在，称它为X和Y的k+l阶混合中心矩．,2,1},)]({[kXEXEk,2,1,),(lkYXElk,2,1,},)]([)]({[lkYEYXEXElk4.3.3矩(1)X的k阶原点矩:E(Xk)，k=1，2，…(2)X的k阶中心矩:(3)X和Y的k+l阶混合矩:(4)X和Y的k+l阶混合中心矩:显然，X的数学期望E(X)是X的一阶原点矩，X的方差D(X)是X的二阶中心矩，X和Y的协方差Cov(X,Y)=0是X和Y的二阶混合中心矩．,2,1},)]({[kXEXEk,2,1,),(lkYXElk,2,1,},)]([)]({[lkYEYXEXElk【实验4-2】设X和Y分别表示在一分钟内通过某收费站的小汽车数量和卡车数量，X和Y的联合分布律如下：(1)期望E(X)、E(Y)、E(XY)(2)方差D(X)、D(Y)(3)协方差Cov(X，Y)(4)相关系数XYYX0123400.050.040.010010.050.10.030.02020.030.050.150.050.02300.020.080.10.054000.020.050.08实验准备：(1)函数SUMPRODUCT的使用格式：SUMPRODUCT(array1,array2,array3,...)功能：返回多个区域array1,array2,array3,...对应数值乘积之和．(2)函数MMULT的使用格式：MMULT(array1,array2)功能：返回两数组的矩阵乘积．结果矩阵的行数与array1的行数相同，列数与array2的列数相同．实验步骤：(1)整理数据如图4-5所示．图4-5整理数据(2)计算边缘概率P{X=xi}和P{Y=yj}在单元格G2中输入公式：=SUM(B2:F2)，并将其复制到单元格区域G3:G6在单元格B7中输入公式：=SUM(B2:B6)，并将其复制到单元格区域C7:F7(3)计算期望E(XY)首先在单元格B9中输入公式：=MMULT(B1:F1,B2:F6)，选中单元格区域B9:F9后，按F2键，再按组合键Ctrl+Shift+Enter，算出中间数组，如图4-6所示．图4-6计算矩阵乘积然后在单元格B10中输入公式：=MMULT(B9:F9,A2:A6)，即得期望E(XY)，如图4-7所示．图4-7计算期望E(XY)(4)计算期望E(X)、E(Y)和方差D(X)、D(Y)在单元格B11中输入公式：=SUMPRODUCT(G2:G6,A2:A6)在单元格B12中输入公式：=SUMPRODUCT(B1:F1,B7:F7)在单元格D11中输入公式：=SUMPRODUCT(A2:A6,A2:A6,G2:G6)-B11^2在单元格D12中输入公式：=SUMPRODUCT(B1:F1,B1:F1,B7:F7)-B12^2(5)计算协方差Cov(X，Y)在单元格B14中输入公式：=B10-B11*B12(6)计算相关系数XY在单元格B15中输入公式：=B14/SQRT(D11*D12)即得结果如图4-8所示．图4-8计算结果第四章随机变量的数字特征【分赌本问题解答】1654年法国有个职业赌徒DeMeré向数学家Pascal提出了一个使他苦恼了很久的问题：甲乙两人各出赌注50法郎赌博，约定谁先赢3局，就赢得全部的100法郎，假定两人赌技相当，且每局无平局．如果当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌局，问如何分100法郎的赌注才算公平？这个问题在当时引起了许多人的兴趣,显然平均分对甲不公平,全部归甲对乙又不公平．合理的分法当然是按照一定的比例,甲多分些,乙少分些，那么如何确定分配比例呢？1654年法国有个职业赌徒DeMeré向数学家Pascal提出了一个使他苦恼了很久的问题：甲乙两人各出赌注50法郎赌博，约定谁先赢3局，就赢得全部的100法郎，假定两人赌技相当，且每局无平局．如果当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌局，问如何分100法郎的赌注才算公平？分法(1)：基于已赌的局数分配：甲赢了两局，乙赢了一局，故甲乙两人按2：1的比例分赌注；【分赌本问题解答】【分赌本问题解答】分法(2)：Pascal提出了如下的分法：设想再赌下去，甲的最终所得视为一个随机变量X，其可能值为0或100，再赌两局赌博必结束，结果无外乎是以下4种情形之一：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙，其中“甲乙”表示甲胜第一局乙胜第二局，其余类似．由于赌技相同，所以甲在三种情形下可赢得100法郎，只在一种情形（乙乙）下，赢得0法郎．所以X的分布律如下：【分赌本问题解答】X的分布律如下：因此，Pascal认为，甲的“期望”所得应为（法郎）这种分法不仅考虑了已赌局数，而且还包含了对继续赌下去的一种“期望”，它比第一种分法更合理．这其实也正是数学期望这个名称的由来．7543100410)(XEX0100pi1/43/4